Questão 11 (Nível 3) da OBMEP 2007

Resolução comentada

O quarto tem quatro paredes, e as paredes são distintas (cada uma está numa posição). Então contamos as distribuições das 4 cores nas 4 paredes, sem repetir cor, e tiramos as que deixam azul e rosa frente a frente.

1. Total sem restrição: é uma permutação de 4 cores em 4 paredes, 4! = 24.

2. Casos proibidos: azul e rosa em paredes opostas. O quarto tem 2 pares de paredes opostas. Escolhemos o par: 2 modos. Dentro do par, azul e rosa podem trocar de lugar: 2 modos. As duas paredes restantes recebem verde e branco: 2 modos.

3. Casos permitidos:

Conferindo por contagem direta: azul pode ir em qualquer das 4 paredes. O rosa não pode ficar na parede oposta, então tem 2 paredes possíveis (as 3 restantes menos a oposta). Verde e branco ocupam as 2 paredes que sobram, de 2 modos: 4 \times 2 \times 2 = 16.

Alternativa B.

Pegadinha: A alternativa A (8) engana quem para na conta dos casos proibidos, e a E (24) engana quem ignora a restrição.

Por que as outras alternativas estão erradas

• AÉ o número de casos proibidos (azul e rosa frente a frente), não o de casos permitidos.
• CNão corresponde a nenhuma contagem correta; erro de conta ao subtrair os casos proibidos.
• DSubtrai apenas 4 casos proibidos, esquecendo a troca entre verde e branco ou entre azul e rosa.
• EÉ o total 4!, sem descontar a restrição.

Assunto: Permutações.

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