Questão 17 (Nível 2) da OBMEP 2007

Resolução comentada

O maior valor possível para a soma dos algarismos de um número de nove algarismos é 9\times 9 = 81, quando todos são 9.

A soma pedida é 79, ou seja, faltam 81 - 79 = 2 unidades para o máximo.

Isso quer dizer que, somando as "perdas" de cada algarismo em relação a 9, o total é 2. Há duas possibilidades:

1. Um único algarismo é 9-2 = 7 e os outros oito são 9.
2. Dois algarismos são 9-1 = 8 e os outros sete são 9.

O número é par, então o algarismo das unidades é par. O 9 é ímpar, logo a unidade não pode ser 9.

• No caso 1, o único algarismo diferente de 9 é o 7, que é ímpar. Não serve para as unidades, e então a unidade seria 9. Esse caso é impossível.
• No caso 2, os algarismos diferentes de 9 são dois 8. Para o número ser par, a unidade deve ser um deles, ou seja, 8. Exemplo: 999\,999\,988, com soma 7\times 9 + 2\times 8 = 63+16 = 79.

Portanto, o algarismo das unidades é 8.

Alternativa E.

Por que as outras alternativas estão erradas

• AO 0 reduziria a soma em 9, deixando-a abaixo de 79 mesmo com os outros algarismos iguais a 9.
• BO 2 tiraria 7 do máximo 81, e a soma ficaria no máximo 74.
• CO 4 tiraria 5 do máximo 81, e a soma ficaria no máximo 76.
• DO 6 tiraria 3 do máximo 81, e a soma ficaria no máximo 78, menor que 79.

Assunto: Sistemas de numeração.

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