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PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 15 (Nível 2) da OBMEP 2007

Nível 2 · Matemática: Áreas e perímetros de polígonos

A figura mostra três polígonos desenhados em uma folha quadriculada. Para cada um desses polígonos foi assinalado, no plano cartesiano à direita, o ponto cujas coordenadas horizontal e vertical são, respectivamente, seu perímetro e sua área.

À esquerda, uma malha quadriculada contendo três polígonos cinzas identificados como I, II e III. O polígono I é um quadrado de 5 por 5 quadradinhos. O polígono II é uma figura obtida de um quadrado 5 por 5 retirando-se um retângulo de 2 por 1 no canto superior direito e um quadradinho 1 por 1 no canto inferior esquerdo. O polígono III é uma figura irregular formada por 15 quadradinhos. À direita, um plano cartesiano com o eixo horizontal identificado como perímetro e o eixo vertical identificado como área, contendo três pontos marcados: A e C possuem a mesma coordenada horizontal (perímetro), sendo C mais alto (maior área) que A; o ponto B está mais à direita (maior perímetro) e mais abaixo (menor área) que A e C.

Qual é a correspondência correta entre os polígonos e os pontos?

  1. A
    \text{I} \longrightarrow \text{C}, \ \text{II} \longrightarrow \text{B}, \ \text{III} \longrightarrow \text{A}
  2. B
    \text{I} \longrightarrow \text{B}, \ \text{II} \longrightarrow \text{A}, \ \text{III} \longrightarrow \text{C}
  3. C
    \text{I} \longrightarrow \text{A}, \ \text{II} \longrightarrow \text{C}, \ \text{III} \longrightarrow \text{B}
  4. D
    \text{I} \longrightarrow \text{A}, \ \text{II} \longrightarrow \text{B}, \ \text{III} \longrightarrow \text{C}
  5. E
    \text{I} \longrightarrow \text{C}, \ \text{II} \longrightarrow \text{A}, \ \text{III} \longrightarrow \text{B}
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Resolução comentada

Resolução comentada

Cada polígono vira um ponto (perímetro, área). Basta calcular os dois valores de cada um e comparar com as posições de A, B e C.

Polígono I: quadrado 5 por 5.

  1. Área: 5\cdot 5 = 25.
  2. Perímetro: 4\cdot 5 = 20.

Polígono II: quadrado 5 por 5 sem um retângulo 2\times1 no canto superior direito e sem um quadradinho no canto inferior esquerdo.

  1. Área: 25 - 2 - 1 = 22.
  2. Retirar um retângulo ou um quadradinho de um canto não altera o perímetro, pois o contorno continua com o mesmo comprimento horizontal e vertical. Perímetro: 20.

Polígono III: formado por 15 quadradinhos, com reentrâncias que aumentam o contorno. Pela figura, o perímetro é maior que 20 (cerca de 28), e a área é 15.

Comparação com o gráfico:

  • A e C têm o mesmo perímetro, e C tem área maior. Os polígonos I e II têm perímetro 20, e 25 > 22. Logo, I corresponde a C e II corresponde a A.
  • B tem o maior perímetro e a menor área. Isso corresponde ao polígono III (perímetro maior que 20, área 15).

Correspondência: \text{I}\to\text{C}, \text{II}\to\text{A}, \text{III}\to\text{B}.

Alternativa E.

Pegadinha: Achar que retirar pedaços de II muda o perímetro; retirar de um canto mantém o perímetro 20, só a área cai para 22.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • AAssocia II ao ponto B e III ao A, mas II tem o mesmo perímetro de I (20), e não um perímetro maior.
  • BAssocia o quadrado I ao ponto B, mas I tem perímetro 20, igual ao de II, e a maior área (25).
  • CTroca I e II: I tem a maior área entre os dois de perímetro 20, então é C, e não A.
  • DAlém de trocar I e II, coloca II em B, que tem perímetro maior que o de II.

Assunto: Áreas e perímetros de polígonos.

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Ver como caiu na prova Questão 15 no caderno Nível 2 da OBMEP 2007

Fonte: OBMEP 2007 · Nível 2. Prova oficial ↗