Questão 10 (Nível 2) da OBMEP 2007

Question

Turmalinas são pedras semipreciosas cujo valor varia de acordo com o peso; se uma turmalina pesa o dobro de outra, então seu valor é cinco vezes o dessa outra. Zita, sem saber disso, mandou cortar uma turmalina que valia R$ 1.000,00 em quatro pedras iguais. Quanto ela irá receber se vender os quatro pedaços?

A
R$ 160,00
B
R$ 200,00
C
R$ 250,00
D
R$ 400,00
E
R$ 500,00

Answer 1

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 10 (Nível 2) da OBMEP 2007

Nível 2 · Matemática: Progressão geométrica

Turmalinas são pedras semipreciosas cujo valor varia de acordo com o peso; se uma turmalina pesa o dobro de outra, então seu valor é cinco vezes o dessa outra. Zita, sem saber disso, mandou cortar uma turmalina que valia R$ 1.000,00 em quatro pedras iguais. Quanto ela irá receber se vender os quatro pedaços?

A
R$ 160,00
B
R$ 200,00
C
R$ 250,00
D
R$ 400,00
E
R$ 500,00

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Resolução comentada

Solução oficial da OBMEP

Se o peso de uma turmalina é o dobro do peso de outra, então seu peso é cinco vezes o preço da outra; isto equivale a dizer que se uma turmalina pesa a metade de outra, então seu preço é um quinto do preço da outra. Zita dividiu sua turmalina em 4 pedras iguais, o que equivale a primeiro dividi-la em 2 turmalinas iguais e depois dividir cada uma dessas em 2 também iguais. No primeiro passo, Zita ficará com 2 turmalinas cada uma de valor \frac{1000}{5} = 200 reais. Depois do segundo passo, Zita terá 4 turmalinas, cada uma valendo \frac{200}{5} = 40 reais; essas 4 turmalinas juntas valem 4 \times 40 = 160 reais.

Podemos esquematizar a solução da seguinte forma, mostrando como calcular o preço de uma das quatro turmalinas menores:

\underbrace{\text{peso inicial}}_{\text{valor: } 1000} \xrightarrow[\textit{valor}\div 5]{\textit{peso}\div 2} \underbrace{\frac{1}{2}\text{ do peso inicial}}_{\text{valor: } 1000\div 5=200} \xrightarrow[\textit{valor}\div 5]{\textit{peso}\div 2} \underbrace{\frac{1}{4}\text{ do peso inicial}}_{\text{valor: } 200\div 5=40}

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Resolução comentada

O enunciado diz que dobrar o peso multiplica o valor por 5. Então, para cada vez que o peso cai pela metade, o valor passa a ser \frac{1}{5} do anterior.

A turmalina foi cortada em quatro pedras iguais, ou seja, cada uma pesa \frac{1}{4} do peso original. Fazemos isso em duas etapas de "metade":

Peso original P vale R$ 1.000,00.
Peso \frac{P}{2} vale $\frac{1000}{5} = $ R$ 200,00.
Peso \frac{P}{4} vale $\frac{200}{5} = $ R$ 40,00.

Cada pedaço vale R$ 40,00. Como são quatro pedaços:

4 \times 40 = 160

Zita receberá R$ 160,00, bem menos que os R$ 1.000,00 da pedra inteira.

Alternativa A.

Pegadinha: A alternativa C engana quem supõe valor proporcional ao peso (1000/4 = 250), e a B engana quem para na etapa da metade.

Por que as outras alternativas estão erradas

BÉ o valor de uma pedra com metade do peso (R$ 200,00), não o total dos quatro pedaços.
CDivide o valor por 4 (1000/4), supondo valor proporcional ao peso.
DNão tem base na regra; confunde a relação entre peso e valor.
EConsidera que o valor cai só pela metade ao cortar, ignorando a regra do fator 5.

Assunto: Progressão geométrica.

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Questão 10 no caderno Nível 2 da OBMEP 2007

Fonte: OBMEP 2007 · Nível 2. Prova oficial ↗