Questão 11 (Nível 2) da OBMEP 2007

Resolução comentada

As casas são numeradas com os ímpares 1, 3, 5, \dots em ordem crescente. A casa de número n ímpar ocupa a posição \dfrac{n+1}{2} na fila.

1. A casa 47 é a de posição \dfrac{47+1}{2} = 24 contando de uma ponta.
2. Se a numeração começasse na outra extremidade, a mesma casa teria o número 71, que é a posição \dfrac{71+1}{2} = 36 contando da outra ponta.

A casa de Luís é a 24ª de um lado e a 36ª do outro. Nessa soma, a casa dele foi contada duas vezes, então o total de casas é:

Conferindo: com 59 casas, os números vão de 1 a 2\cdot 59 - 1 = 117. A casa 47 é a 24ª; da outra ponta ela é a 59 - 24 + 1 = 36ª, que recebe o número 2\cdot 36 - 1 = 71. Confere.

Alternativa C.

Pegadinha: A alternativa D engana quem soma 24 + 36 sem subtrair 1, esquecendo que a casa de Luís entra nas duas contagens.

Por que as outras alternativas estão erradas

• AValor sem relação com as posições 24 e 36; não usa a contagem correta das casas.
• BErro de contagem das posições, sem verificar que 47 vira 71.
• DSoma as posições 24 + 36 sem descontar a casa de Luís, que foi contada duas vezes.
• EErra a conversão entre número e posição, desconsiderando que o número ímpar n está na posição (n+1)/2.

Assunto: Sequências e padrões.

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