Questão 6 (Nível 3) da OBMEP 2006

Question

No gráfico estão representadas as populações das cidades I, II, III, IV e V em 1990 e 2000, em milhares de habitantes. Por exemplo, em 1990 a população da cidade II era de 60 000 habitantes e em 2000 a cidade IV tinha 150 000 habitantes.

Gráfico de barras duplas com a população em milhares de habitantes nos anos de 1990 e 2000 para as cidades I, II, III, IV e V. No eixo vertical, a escala vai de 0 a 160 com intervalos de 10. Para a cidade I, os valores são 30 (1990) e 50 (2000); para a II, 60 e 50; para a III, 70 e 70; para a IV, 100 e 150; para a V, 120 e 130.

Qual cidade teve o maior aumento percentual de população de 1990 a 2000?

A
I
B
II
C
III
D
IV
E
V

Answer 1

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 6 (Nível 3) da OBMEP 2006

Nível 3 · Matemática: Aumentos, descontos e variação percentual

No gráfico estão representadas as populações das cidades I, II, III, IV e V em 1990 e 2000, em milhares de habitantes. Por exemplo, em 1990 a população da cidade II era de 60 000 habitantes e em 2000 a cidade IV tinha 150 000 habitantes.

Gráfico de barras duplas com a população em milhares de habitantes nos anos de 1990 e 2000 para as cidades I, II, III, IV e V. No eixo vertical, a escala vai de 0 a 160 com intervalos de 10. Para a cidade I, os valores são 30 (1990) e 50 (2000); para a II, 60 e 50; para a III, 70 e 70; para a IV, 100 e 150; para a V, 120 e 130.

Qual cidade teve o maior aumento percentual de população de 1990 a 2000?

A
I
B
II
C
III
D
IV
E
V

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Resolução comentada

Solução oficial da OBMEP

As informações do gráfico são dadas nas três primeiras colunas da tabela abaixo:

Cidade	População em 1990	População em 2000	Aumento da população	Aumento proporcional da população
I	30	50	50 - 30 = 20	\frac{20}{30}
II	60	50	decresceu	não teve
III	70	70	70 - 70 = 0	0
IV	100	150	150 - 100 = 50	\frac{50}{100}
V	120	130	130 - 120 = 10	\frac{10}{120}

Como \frac{20}{30} é maior que \frac{50}{100} e \frac{10}{120} . Concluímos que o maior aumento percentual de população entre 1990 e 2000 ocorreu na cidade I.

Na forma percentual, \frac{20}{30} \approx 67\% , \frac{50}{100} = 50\% e \frac{10}{120} \approx 8{,}3\% .

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Resolução comentada

O aumento percentual compara o aumento com a população inicial (1990):

\text{aumento percentual}=\frac{\text{pop. 2000}-\text{pop. 1990}}{\text{pop. 1990}}\times 100\%

Lendo o gráfico (em milhares) e calculando cidade por cidade:

Cidade I: \frac{50-30}{30}=\frac{20}{30}\approx 66{,}7\%.
Cidade II: passou de 60 para 50, ou seja, diminuiu (-16{,}7\%).
Cidade III: ficou em 70, variação de 0\%.
Cidade IV: \frac{150-100}{100}=50\%.
Cidade V: \frac{130-120}{120}\approx 8{,}3\%.

O maior valor é o da cidade I, com cerca de 66{,}7\%, mesmo tendo o aumento absoluto (20 mil) menor que o da cidade IV (50 mil). Como a cidade I era pequena, 20 mil habitantes a mais representam uma fração grande da população que ela tinha.

Alternativa A.

Pegadinha: A alternativa D engana quem olha o maior aumento absoluto (50 mil) em vez do aumento percentual em relação à população de 1990.

Por que as outras alternativas estão erradas

Ba cidade II perdeu população, de 60 para 50 mil, então a variação é negativa.
Ca cidade III manteve 70 mil, variação nula.
Dtem o maior aumento absoluto (50 mil), mas o percentual é só 50%, menor que os 66,7% da cidade I.
Ecresceu apenas 10 mil sobre 120 mil, cerca de 8,3%.

Assunto: Aumentos, descontos e variação percentual.

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Questão 6 no caderno Nível 3 da OBMEP 2006

Fonte: OBMEP 2006 · Nível 3. Prova oficial ↗