Questão 5 (Nível 3) da OBMEP 2006

Question

Os comprimentos dos lados do triângulo da figura são números inteiros. Junto a cada vértice aparece o produto dos comprimentos dos lados a ele adjacentes. Qual é o perímetro do triângulo?

Triângulo com vértices indicando os produtos dos lados adjacentes: 60 no vértice superior, 84 no vértice inferior esquerdo e 140 no vértice inferior direito.

A
20
B
24
C
28
D
30
E
34

Answer 1

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 5 (Nível 3) da OBMEP 2006

Nível 3 · Matemática: Divisibilidade, MMC e MDC

Os comprimentos dos lados do triângulo da figura são números inteiros. Junto a cada vértice aparece o produto dos comprimentos dos lados a ele adjacentes. Qual é o perímetro do triângulo?

Triângulo com vértices indicando os produtos dos lados adjacentes: 60 no vértice superior, 84 no vértice inferior esquerdo e 140 no vértice inferior direito.

A
20
B
24
C
28
D
30
E
34

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Resolução comentada

Solução oficial da OBMEP

Solução 1: Sejam a, b e c os comprimentos dos lados do triângulo. Logo \text{a} \times \text{b} = 60, \text{b} \times \text{c} = 140 e \text{a} \times \text{c} = 84. Segue que

• a é divisor comum de 60 e 84, ou seja, as possibilidades para a são 1, 2, 3, 4, 6 e 12

• b é divisor comum de 60 e 140, ou seja, as possibilidades para b são 1, 2, 3, 5, 10, 20

• c é divisor comum de 84 e 140, ou seja, as possibilidades para c são 1, 2, 4, 7, 14, 28

Escolhemos agora as possibilidades que satisfazem \text{a} \times \text{b} = 60, \text{b} \times \text{c} = 140 e \text{a} \times \text{c} = 84:

\text{a} \times \text{b} = 60		\text{a} \times \text{c} = 84		\text{b} \times \text{c} = 140
a	b	a	c	b	c
3	20	3	28	5	28
6	10	6	14	10	14
12	5	12	7	20	7

A linha sombreada na tabela é a única em que os valores de a, b e c coincidem nas três colunas. Logo \text{a} = 6, \text{b} = 10 e \text{c} = 14 e o perímetro do triângulo é 6 + 10 + 14 = 30.

Solução 2: Como ab = 60 e ac = 84 segue que a^2bc = 60 \times 84 = 5040. Temos também bc = 140, donde a^2 \times 140 = 5040. Segue que a^2 = 36 e portanto a = 6. Logo b = 10 e c = 14.

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Resolução comentada

Chame os lados de a, b e c. Cada produto no vértice é o produto dos dois lados que se encontram ali:

ab = 60
ac = 84
bc = 140

Multiplicando as três igualdades, cada lado aparece duas vezes:

(abc)^2 = 60 \cdot 84 \cdot 140 = 705\,600

Como 840^2 = 705\,600, temos abc = 840.

Agora dividimos abc pelo produto de cada par para achar o lado que sobrou:

c = \dfrac{840}{60} = 14
b = \dfrac{840}{84} = 10
a = \dfrac{840}{140} = 6

Conferindo: 6\cdot10=60, 6\cdot14=84 e 10\cdot14=140. Os lados são inteiros e formam um triângulo, pois 6+10=16>14.

Perímetro: 6+10+14=30.

Alternativa D.

Por que as outras alternativas estão erradas

ANão corresponde a nenhum conjunto de lados inteiros com esses produtos; a soma dos lados é 30.
BResulta de erro na conta de abc ou de lados que não satisfazem os três produtos.
CNão é compatível com os lados 6, 10 e 14, cuja soma é 30.
EExcede a soma dos lados obtidos; nenhum trio inteiro com esses produtos dá 34.

Assunto: Divisibilidade, MMC e MDC.

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Questão 5 no caderno Nível 3 da OBMEP 2006

Fonte: OBMEP 2006 · Nível 3. Prova oficial ↗