Questão 10 (Nível 2) da OBMEP 2006

Question

No gráfico estão representadas as populações das cidades I, II, III, IV e V em 1990 e 2000, em milhares de habitantes. Por exemplo, em 1990 a população da cidade II era de 60 000 habitantes e em 2000 a cidade IV tinha 150 000 habitantes.

Gráfico de barras verticais agrupadas mostrando a população em milhares de habitantes das cidades I, II, III, IV e V nos anos de 1990 (barra escura) e 2000 (barra clara). Valores aproximados: Cidade I (1990: 30; 2000: 50); Cidade II (1990: 60; 2000: 50); Cidade III (1990: 70; 2000: 70); Cidade IV (1990: 100; 2000: 150); Cidade V (1990: 120; 2000: 130).

Qual cidade teve o maior aumento percentual de população de 1990 a 2000?

A
I
B
II
C
III
D
IV
E
V

Answer 1

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 10 (Nível 2) da OBMEP 2006

Nível 2 · Matemática: Aumentos, descontos e variação percentual

No gráfico estão representadas as populações das cidades I, II, III, IV e V em 1990 e 2000, em milhares de habitantes. Por exemplo, em 1990 a população da cidade II era de 60 000 habitantes e em 2000 a cidade IV tinha 150 000 habitantes.

Gráfico de barras verticais agrupadas mostrando a população em milhares de habitantes das cidades I, II, III, IV e V nos anos de 1990 (barra escura) e 2000 (barra clara). Valores aproximados: Cidade I (1990: 30; 2000: 50); Cidade II (1990: 60; 2000: 50); Cidade III (1990: 70; 2000: 70); Cidade IV (1990: 100; 2000: 150); Cidade V (1990: 120; 2000: 130).

Qual cidade teve o maior aumento percentual de população de 1990 a 2000?

A
I
B
II
C
III
D
IV
E
V

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Resolução comentada

Solução oficial da OBMEP

As informações do gráfico são dadas nas três primeiras colunas da tabela abaixo:

Cidade	População em 1990	População em 2000	Aumento da população	Aumento proporcional da população
I	30	50	50 - 30 = 20	\frac{20}{30}
II	60	50	decresceu	não teve
III	70	70	70 - 70 = 0	0
IV	100	150	150 - 100 = 50	\frac{50}{100}
V	120	130	130 - 120 = 10	\frac{10}{120}

Como \frac{20}{30} é maior que \frac{50}{100} e \frac{10}{120}. Concluímos que o maior aumento percentual de população entre 1990 e 2000 ocorreu na cidade I.

Na forma percentual, \frac{20}{30} \approx 67\%, \frac{50}{100} = 50\% e \frac{10}{120} \approx 8{,}3\%.

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Resolução comentada

O aumento percentual compara o aumento com a população inicial (1990): \text{aumento percentual}=\dfrac{P_{2000}-P_{1990}}{P_{1990}}\times 100\%. Por isso, a cidade com maior aumento absoluto não é necessariamente a de maior aumento percentual.

Lendo o gráfico (em milhares) e calculando para cada cidade:

Cidade I: \dfrac{50-30}{30}=\dfrac{20}{30}\approx 66{,}7\%
Cidade II: \dfrac{50-60}{60}\approx -16{,}7\% (a população diminuiu)
Cidade III: \dfrac{70-70}{70}=0\%
Cidade IV: \dfrac{150-100}{100}=50\%
Cidade V: \dfrac{130-120}{120}\approx 8{,}3\%

O maior valor é o da cidade I, com cerca de 66{,}7\%, mesmo tendo um aumento absoluto (20 mil) menor que o da cidade IV (50 mil). Como a cidade I partia de uma população pequena, o aumento de 20 mil pesa muito mais em termos relativos.

Alternativa A.

Pegadinha: A alternativa D engana quem olha apenas o maior aumento absoluto (50 mil) em vez de dividir pela população de 1990.

Por que as outras alternativas estão erradas

BA cidade II perdeu população, então o aumento percentual é negativo.
CA cidade III manteve 70 mil habitantes, com aumento de 0%.
DEscolhe o maior aumento absoluto (50 mil), mas o percentual é 50%, menor que os 66,7% da cidade I.
EA cidade V cresceu só 10 mil sobre 120 mil, cerca de 8,3%.

Assuntos: Aumentos, descontos e variação percentual, Leitura e interpretação de gráficos.

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Questão 10 no caderno Nível 2 da OBMEP 2006

Fonte: OBMEP 2006 · Nível 2. Prova oficial ↗