Questão 13 (Nível 1) da OBMEP 2006

Question

No gráfico estão representadas as populações das cidades I, II, III, IV e V em 1990 e 2000, em milhares de habitantes. Por exemplo, em 1990 a população da cidade II era de 60 000 habitantes e em 2000 a cidade IV tinha 150 000 habitantes.

Gráfico de barras duplas das populações das cidades I a V nos anos de 1990 e 2000 em milhares de habitantes. Cidade I: 30 em 1990 e 50 em 2000. Cidade II: 60 em 1990 e 50 em 2000. Cidade III: 70 em 1990 e 70 em 2000. Cidade IV: 100 em 1990 e 150 em 2000. Cidade V: 120 em 1990 e 130 em 2000.

Qual cidade teve o maior aumento percentual de população de 1990 a 2000?

A
I
B
II
C
III
D
IV
E
V

Answer 1

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 13 (Nível 1) da OBMEP 2006

Nível 1 · Matemática: Aumentos, descontos e variação percentual

No gráfico estão representadas as populações das cidades I, II, III, IV e V em 1990 e 2000, em milhares de habitantes. Por exemplo, em 1990 a população da cidade II era de 60 000 habitantes e em 2000 a cidade IV tinha 150 000 habitantes.

Gráfico de barras duplas das populações das cidades I a V nos anos de 1990 e 2000 em milhares de habitantes. Cidade I: 30 em 1990 e 50 em 2000. Cidade II: 60 em 1990 e 50 em 2000. Cidade III: 70 em 1990 e 70 em 2000. Cidade IV: 100 em 1990 e 150 em 2000. Cidade V: 120 em 1990 e 130 em 2000.

Qual cidade teve o maior aumento percentual de população de 1990 a 2000?

A
I
B
II
C
III
D
IV
E
V

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Resolução comentada

Solução oficial da OBMEP

As informações do gráfico são dadas nas três primeiras colunas da tabela abaixo:

Cidade	População em 1990	População em 2000	Aumento da população	Aumento proporcional da população
I	30	50	50 - 30 = 20	\frac{20}{30}
II	60	50	decresceu	não teve
III	70	70	70 - 70 = 0	0
IV	100	150	150 - 100 = 50	\frac{50}{100}
V	120	130	130 - 120 = 10	\frac{10}{120}

Como \frac{20}{30} é maior que \frac{50}{100} e \frac{10}{120}. Concluímos que o maior aumento percentual de população entre 1990 e 2000 ocorreu na cidade I.

Na forma percentual, \frac{20}{30} \approx 67\%, \frac{50}{100} = 50\% e \frac{10}{120} \approx 8{,}3\%.

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Resolução comentada

O aumento percentual compara o aumento com a população inicial, ou seja, \text{aumento percentual}=\dfrac{P_{2000}-P_{1990}}{P_{1990}}\times 100\%. Por isso, o maior aumento absoluto nem sempre dá o maior aumento percentual. Valores em milhares de habitantes, lidos no gráfico:

Cidade I: \dfrac{50-30}{30}=\dfrac{20}{30}\approx 66{,}7\%.
Cidade II: 50<60, a população diminuiu, então não há aumento.
Cidade III: 70-70=0, aumento de 0\%.
Cidade IV: \dfrac{150-100}{100}=50\%.
Cidade V: \dfrac{130-120}{120}=\dfrac{10}{120}\approx 8{,}3\%.

O maior valor é o da cidade I, com cerca de 66{,}7\%, contra 50\% da cidade IV.

A cidade IV teve o maior aumento absoluto (50 mil habitantes), mas partiu de uma base maior. A cidade I aumentou só 20 mil, porém sobre uma base pequena (30 mil), e isso gera o maior percentual.

Alternativa A.

Pegadinha: A alternativa D engana quem olha o maior aumento absoluto (50 mil) em vez de dividir pela população de 1990.

Por que as outras alternativas estão erradas

BA cidade II perdeu população (60 mil para 50 mil), então não teve aumento.
CA cidade III manteve 70 mil, aumento de 0%.
DEscolhe o maior aumento absoluto (50 mil), mas o percentual é 50%, menor que os 66,7% da cidade I.
EAumento de só 10 mil sobre 120 mil, cerca de 8,3%, o segundo menor valor entre as cidades.

Assuntos: Aumentos, descontos e variação percentual, Leitura e interpretação de gráficos.

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Questão 13 no caderno Nível 1 da OBMEP 2006

Fonte: OBMEP 2006 · Nível 1. Prova oficial ↗