Questão 7 (Nível 3) da OBMEP 2006

Resolução comentada

Cada potência de 10 é um número com um único algarismo 1 seguido de zeros: 10^0=1, 10^1=10, 10^2=100, e assim por diante. Como cada uma tem o 1 em uma casa decimal diferente, a soma não causa "vai um".

Por exemplo, 1+10+100=111: cada parcela coloca um 1 em uma posição própria.

Na soma pedida, as parcelas vão de 10^0 até 10^{2\,006}, ou seja, os expoentes são 0,1,2,\ldots,2\,006.

1. Quantidade de parcelas: 2\,006-0+1=2\,007 (conta-se também o expoente 0, que é o número 1 do início).
2. O resultado é o número formado por 2\,007 algarismos, todos iguais a 1: 111\ldots1.
3. Soma dos algarismos: 2\,007\times 1=2\,007.

O cuidado está em contar o termo 1=10^0: de 0 a 2\,006 há 2\,007 termos, e não 2\,006.

Alternativa D.

Pegadinha: A alternativa C engana quem conta os expoentes de 1 a 2 006 e esquece o primeiro termo, 1=10^0, que faz haver 2 007 parcelas.

Por que as outras alternativas estão erradas

• AConfunde a soma dos algarismos com o resultado de um único algarismo 1, ignorando que há muitos 1s.
• BNão tem relação com a contagem de termos; valor sem justificativa.
• CEsquece o termo 1=10^0 e conta só 2 006 parcelas (do expoente 1 ao 2 006).
• EMultiplica por 10 sem motivo, tratando cada potência como se somasse 10 aos algarismos.

Assuntos: Sistemas de numeração, Progressão geométrica.

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