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PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 16 (Nível 2) da OBMEP 2006

Nível 2 · Matemática: Vistas, projeções e planificações

Para montar um cubo, Guilherme recortou um pedaço de cartolina branca e pintou de cinza algumas partes, como na figura ao lado.

Planificação da superfície de um cubo em formato de cruz, dividida em quadrados onde cada face é subdividida em duas metades retangulares, algumas pintadas de cinza e outras brancas.

Qual das figuras abaixo representa o cubo construído por Guilherme?

  1. A
    Cubo com a face superior totalmente cinza dividida ao meio, a face frontal totalmente branca dividida ao meio verticalmente, e a face lateral dividida verticalmente em branco e cinza.
  2. B
    Cubo com a face frontal dividida verticalmente em metade branca e metade cinza, face superior dividida horizontalmente em metade branca e metade cinza ao fundo, e face lateral dividida horizontalmente em metade cinza no topo e metade branca na base.
  3. C
    Cubo com a face frontal dividida verticalmente em metade branca e metade cinza, face superior dividida horizontalmente totalmente branca, e face lateral dividida horizontalmente em metade cinza no topo e metade branca na base.
  4. D
    Cubo com a face frontal dividida verticalmente em metade branca e metade cinza, face superior dividida na direção de profundidade totalmente branca, e face lateral dividida horizontalmente em metade cinza no topo e metade branca na base.
  5. E
    Cubo com a face superior totalmente cinza dividida ao meio, a face frontal dividida verticalmente em metade cinza e metade branca, e a face lateral com faixa cinza.
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Resolução comentada

Resolução comentada

Na montagem, precisamos acompanhar tanto as cores quanto a direção das linhas que dividem as faces. Duas figuras podem ter as mesmas cores visíveis e, ainda assim, representar cubos diferentes.

Considere o quadrado central da planificação, totalmente branco, como a face superior do cubo. Dobre para baixo os quatro quadrados ligados diretamente a ele.

O quadrado imediatamente abaixo do central pode ser a face frontal: sua metade esquerda é branca, e a direita é cinza. O quadrado à direita do central será a face lateral direita. Sua metade cinza, que estava encostada no quadrado central, ficará em cima; a metade branca ficará embaixo.

Falta conferir a linha da face superior. Na planificação, ela é paralela à borda que separa o quadrado central daquele imediatamente abaixo dele. Depois da dobra, portanto, continuará paralela à aresta entre o topo e a frente.

Essa configuração aparece em C. Em D, embora as cores sejam iguais, a linha do topo segue da frente para o fundo, contrariando a planificação.

Alternativa C.

Pegadinha: A alternativa D repete as cores de C, mas troca a direção da linha na face superior; é preciso acompanhar também as divisões ao dobrar.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • AColoca as faces totalmente cinza e totalmente branca lado a lado, mas elas são opostas no cubo.
  • BMostra três faces mistas encontrando-se num vértice, mas duas das quatro faces mistas seriam necessariamente opostas.
  • DApresenta a linha divisória do topo perpendicular à direção exigida pela planificação.
  • EMostra as divisões das duas faces mistas paralelas à aresta comum, configuração incompatível com a planificação.

Assunto: Vistas, projeções e planificações.

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Esta questão também caiu em

Ver como caiu na prova Questão 16 no caderno Nível 2 da OBMEP 2006

Fonte: OBMEP 2006 · Nível 2. Prova oficial ↗