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Questão 17 (Nível 2) da OBMEP 2006

Nível 2 · Matemática: Lógica e raciocínio lógico

Colocando sinais de adição entre alguns dos algarismos do número 123456789 podemos obter várias somas. Por exemplo, podemos obter 279 com quatro sinais de adição: 123 + 4 + 56 + 7 + 89 = 279. Quantos sinais de adição são necessários para que se obtenha assim o número 72?

  1. A
    3
  2. B
    4
  3. C
    5
  4. D
    6
  5. E
    7
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Ao colocar sinais de adição, os algarismos ficam na ordem e formam parcelas de um ou mais dígitos. Queremos soma 72.

Uma observação ajuda: a soma dos algarismos é 1+2+\dots+9=45. Cada vez que um algarismo ocupa a casa das dezenas, ele vale 9 unidades a mais (vale 10a em vez de a). Então precisamos de um acréscimo total de 72-45=27, que é 3\times 9.

Logo, a soma dos algarismos que estão na casa das dezenas deve ser 27/9=3 (se houver centenas, cada uma acrescenta 99a, o que é bem mais difícil de ajustar).

Sem centenas, as dezenas possíveis somam 3 de duas formas:

  1. Uma só dezena com algarismo 3: parcela 34, e os outros ficam isolados: 1+2+34+5+6+7+8+9=72. Sinais: são 8 parcelas, logo 7 sinais.
  2. Duas dezenas com algarismos 1 e 2: não podem ser vizinhas na mesma parcela, então fazemos 12 (1 na dezena de 12) e depois outra dezena com 2? O 2 já foi usado. Alternativa: dezena 1 em 12 e dezena 2 em 23 não é possível, pois o 2 não pode estar em duas parcelas.

Testando outra opção: o 1 como dezena em 12 e o 2 como dezena em 2x impossível. Então vale a primeira: usando 3 como dezena (parcela 34), ou o 1 e o 2 como dezenas em parcelas não sobrepostas, como 12 e... o 2 aparece como unidade em 12, não como dezena. Resta apenas a dezena 3.

Assim, o único modo é 1+2+34+5+6+7+8+9=72, com 7 sinais de adição.

Alternativa E.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • ACom apenas 3 sinais haveria só 4 parcelas, e seria impossível chegar a soma 72 com as dezenas necessárias.
  • BCom 4 sinais teríamos 5 parcelas, o que exige mais algarismos juntos e passa de 72.
  • CCom 5 sinais surgiriam parcelas grandes demais, e a soma não fecha em 72.
  • DCom 6 sinais haveria duas dezenas, mas seus algarismos de dezena não somariam 3.

Assunto: Lógica e raciocínio lógico.

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Ver como caiu na prova Questão 17 no caderno Nível 2 da OBMEP 2006

Fonte: OBMEP 2006 · Nível 2. Prova oficial ↗