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PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 15 (Nível 2) da OBMEP 2006

Nível 2 · Matemática: Permutações

Três casais de namorados vão sentar-se em um banco de uma praça. Em quantas ordens diferentes os seis podem sentar-se de modo que cada namorado fique ao lado de sua namorada?

Ilustração de três casais de namorados sentados lado a lado em um banco de praça

  1. A
    6
  2. B
    12
  3. C
    44
  4. D
    46
  5. E
    48
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Cada casal precisa ficar junto, então vamos tratar cada casal como um "bloco".

  1. Ordem dos blocos no banco: são 3 blocos distintos, logo 3! = 6 maneiras.

  2. Ordem dentro de cada bloco: em cada casal, o namorado pode ficar à esquerda ou à direita da namorada, ou seja, 2 maneiras por casal. Para os três casais: 2 \cdot 2 \cdot 2 = 2^3 = 8.

  3. Princípio multiplicativo: as escolhas dos passos 1 e 2 são independentes, então multiplicamos:

6 \cdot 8 = 48

Assim, existem 48 ordens em que cada namorado fica ao lado de sua namorada.

Alternativa E.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • AConta só a ordem dos três casais (3!) e esquece a troca de posição dentro de cada casal.
  • BConsidera apenas 3!\cdot 2, trocando de lugar só um casal, em vez de 2^3.
  • CValor sem relação com o raciocínio dos blocos; não corresponde à contagem correta.
  • DTambém não resulta da contagem de blocos e permutações internas; é um valor próximo de 48 para enganar.

Assunto: Permutações.

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Esta questão também caiu em

Ver como caiu na prova Questão 15 no caderno Nível 2 da OBMEP 2006

Fonte: OBMEP 2006 · Nível 2. Prova oficial ↗