Correção ENEM 2026Confira suas respostas do 1º dia com o gabarito dos cursinhos e a resolução das questões, até o INEP publicar o oficialVer a correção
Entrar

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 14 (Nível 1) da OBMEP 2006

Nível 1 · Matemática: Áreas e perímetros de polígonos

Na figura, os cinco quadrados são iguais e os vértices do polígono sombreado são pontos médios dos lados dos quadrados. Se a área de cada quadrado é 1\text{ cm}^2, qual a área do polígono sombreado?

Figura formada por cinco quadrados iguais dispostos em forma de cruz, com um quadrado central e quatro quadrados adjacentes aos seus lados. Há um octógono sombreado em cinza cujos vértices são os pontos médios dos lados laterais dos quatro quadrados externos, cobrindo inteiramente o quadrado central, metade de cada um dos quatro quadrados adjacentes e quatro pequenos triângulos retângulos nos cantos entre os quadrados adjacentes.

  1. A
    2\text{ cm}^2
  2. B
    2{,}5\text{ cm}^2
  3. C
    3\text{ cm}^2
  4. D
    3{,}5\text{ cm}^2
  5. E
    4\text{ cm}^2
Escolha uma alternativa para conferir o gabarito.
Reportar erro na questão
O que está errado?
Sem cadastro: não guardamos quem enviou.
Resolução comentada

Resolução comentada

A figura é uma cruz: um quadrado central e quatro quadrados colados nos lados dele, todos com lado 1\ \text{cm}. O octógono sombreado tem vértices nos pontos médios dos lados dos quadrados externos.\n\nO octógono pode ser dividido em partes fáceis de calcular:\n\n1. Quadrado central: área 1\ \text{cm}^2.\n2. Quatro quadrados externos: cada um tem sombreada a metade mais próxima do centro, um retângulo de 1 \times \tfrac12, com área \tfrac12\ \text{cm}^2. Em quatro quadrados: 4 \cdot \tfrac12 = 2\ \text{cm}^2.\n3. Quatro triângulos dos cantos: cada canto fica entre dois quadrados externos vizinhos. Os catetos medem \tfrac12 e \tfrac12, pois vão do vértice do quadrado central até os pontos médios dos lados externos. A área de cada um é \tfrac12\cdot\tfrac12\cdot\tfrac12=\tfrac18\ \text{cm}^2. Em quatro cantos: 4\cdot\tfrac18=\tfrac12\ \text{cm}^2.\n\nSomando:\n\n

1 + 2 + \tfrac12 = 3{,}5\ \text{cm}^2
\n\nConferindo por outro caminho: o octógono cabe em um quadrado de lado 2 (área 4), e, em cada canto desse quadrado, sobra um triângulo retângulo de catetos \tfrac12 e \tfrac12, de área \tfrac18. Os quatro somam \tfrac12, e 4-\tfrac12=3{,}5. Confere.\n\nAlternativa D.

Pegadinha: A alternativa C engana quem soma o quadrado central (1) com os quatro meios quadrados (2) e esquece os quatro triângulos dos cantos, que valem \tfrac12 no total.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • AConsidera só o quadrado central e os quatro retângulos pela metade, errando a soma das partes.
  • BIgnora parte da área sombreada, como se faltasse o quadrado central ou os triângulos dos cantos.
  • CSoma o quadrado central com os quatro retângulos de meio quadrado e esquece os triângulos dos cantos.
  • EUsa a área do quadrado de lado 2 que contém o octógono, sem descontar os quatro triângulos dos cantos.

Assunto: Áreas e perímetros de polígonos.

Reportar erro na resolução
O que está errado?
Sem cadastro: não guardamos quem enviou.
Ver como caiu na prova Questão 14 no caderno Nível 1 da OBMEP 2006

Fonte: OBMEP 2006 · Nível 1. Prova oficial ↗