Questão 9 (Nível 3) da OBMEP 2005

Resolução comentada

Os bilhetes têm 4 algarismos. Queremos números em que o 7 aparece exatamente 3 vezes, o 0 não aparece, e portanto o algarismo restante é diferente de 7 e de 0.

1. Escolha da posição do algarismo diferente de 7: são 4 posições possíveis (milhar, centena, dezena ou unidade).
2. Escolha desse algarismo: ele não pode ser 7 (senão apareceria 4 vezes) nem 0 (proibido). Sobram os algarismos 1, 2, 3, 4, 5, 6, 8 e 9, ou seja, 8 opções.
3. As outras três posições ficam fixas com o 7.

Total:

Não há problema com o zero na primeira posição, pois o zero está proibido em qualquer posição. Todos os números formados estão entre 1 000 e 9 999.

Exemplos: 7771, 7717, 7177, 1777, 9777 etc.

Alternativa A.

Pegadinha: Esquecer que o algarismo diferente de 7 também não pode ser 0 (levaria a 4×9 = 36, alternativa B) ou que não pode ser 7.

Por que as outras alternativas estão erradas

• BUsa 9 opções para o algarismo diferente de 7 (conta o 0 fora, ou erra a contagem), ou outra contagem sem base; o correto é 4×8.
• CNão corresponde a nenhuma contagem correta; o correto é 4×8 = 32.
• DContagem incorreta, sem relação com 4 posições × 8 algarismos.
• EProvavelmente soma 4×9 + 4×3 ou usa 12 opções; esquece de excluir o 0 e o 7 corretamente.

Assunto: Princípio fundamental da contagem.

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