Questão 8 (Nível 3) da OBMEP 2005

Question

Uma formiga está no ponto A da malha mostrada na figura. A malha é formada por retângulos de 3\text{ cm} de largura por 4\text{ cm} de comprimento. A formiga só pode caminhar sobre os lados ou sobre as diagonais dos retângulos. Qual é a menor distância que a formiga deve percorrer para ir de A até B?

Malha formada por 6 retângulos (2 linhas e 3 colunas) de dimensões 4 por 3, cada um com uma diagonal inclinada para cima e para a direita. O ponto A situa-se no canto inferior esquerdo junto a uma formiga, e o ponto B situa-se no canto superior direito.

A
12\text{ cm}
B
14\text{ cm}
C
15\text{ cm}
D
17\text{ cm}
E
18\text{ cm}

Answer 1

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 8 (Nível 3) da OBMEP 2005

Nível 3 · Matemática: Teorema de Pitágoras e relações métricas

Uma formiga está no ponto A da malha mostrada na figura. A malha é formada por retângulos de 3\text{ cm} de largura por 4\text{ cm} de comprimento. A formiga só pode caminhar sobre os lados ou sobre as diagonais dos retângulos. Qual é a menor distância que a formiga deve percorrer para ir de A até B?

Malha formada por 6 retângulos (2 linhas e 3 colunas) de dimensões 4 por 3, cada um com uma diagonal inclinada para cima e para a direita. O ponto A situa-se no canto inferior esquerdo junto a uma formiga, e o ponto B situa-se no canto superior direito.

A
12\text{ cm}
B
14\text{ cm}
C
15\text{ cm}
D
17\text{ cm}
E
18\text{ cm}

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Resolução comentada

Solução oficial da OBMEP

Para calcular os possíveis comprimentos dos caminhos que a formiga pode percorrer, é necessário saber o comprimento da diagonal dos retângulos da malha. Para isto usa-se o Teorema de Pitágoras, que diz que em um triângulo retângulo de hipotenusa a e catetos b e c temos a^2 = b^2 + c^2. Se d é a diagonal que queremos calcular então d^2 = 3^2 + 4^2 = 25, donde d = 5.

Note agora que existem apenas quatro opções de caminhos que a formiga pode escolher para ir de A a B: (i) Caminhos que não passam pelas diagonais: Qualquer caminho deste tipo passa por pelo menos três lados de comprimento 4cm e dois lados de comprimento 3 cm. Neste caso, o menor caminho tem comprimento 3 \times 4 + 2 \times 3 = 12 + 6 = 18\text{ cm}. (ii) Caminhos que passam por apenas uma diagonal: Todo caminho deste tipo passará no mínimo por um lado de comprimento 3 cm e dois de comprimento 4 cm. Portanto, neste caso, o menor caminho será de 5 + 3 + 2 \times 4 = 16\text{ cm}. (iii) Caminhos que passam por exatamente duas diagonais: Note que existe um caminho que passa apenas por duas diagonais e por um lado de comprimento 4; o comprimento deste caminho é 5 \times 2 + 4 = 14\text{ cm}. Por outro lado, qualquer caminho que passe por duas diagonais terá que passar por um lado de comprimento 4 cm, logo seu comprimento será no mínimo igual a 14 cm. Logo, neste caso, o menor caminho tem comprimento 14 cm. (iv) Caminhos que passam por mais de duas diagonais : Qualquer caminho deste tipo terá comprimento no mínimo 15 cm. Portanto a resposta é 14 cm.

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Resolução comentada

A malha tem 3 colunas de largura 4 cm (total 12 cm na horizontal) e 2 linhas de altura 3 cm (total 6 cm na vertical). Cada diagonal mede \sqrt{4^2+3^2}=5\ \text{cm} e avança 4 cm na horizontal e 3 cm na vertical.

Para ir de A a B é preciso avançar 12 cm na horizontal e subir 6 cm. Vamos comparar os caminhos:

Só pelos lados: 12+6=18\ \text{cm}.
Duas diagonais seguidas (vão de 8 cm na horizontal e 6 cm na vertical) custam 2\cdot 5=10\ \text{cm}. Falta andar 4 cm na horizontal, por um lado: total 10+4=14\ \text{cm}.
Usar uma diagonal em cada linha e completar com lados horizontais é a melhor estratégia, pois cada diagonal de 5 cm substitui um trajeto de 4+3 = 7 cm pelos lados, economizando 2 cm.

Como só há 2 linhas, o máximo de diagonais úteis é 2 (a diagonal sempre sobe 3 cm, e só precisamos subir 6 cm). Usar mais diagonais exigiria subir além do necessário, e descer não é possível sem custo, pois as diagonais só sobem para a direita e descer pelos lados soma 3 cm a mais, o que não compensa.

Assim, o menor caminho é: 2 diagonais (10 cm) + 1 lado horizontal de 4 cm = 14 cm.

Alternativa B.

Por que as outras alternativas estão erradas

A12 cm é só a largura total; ignora os 6 cm de subida.
C15 cm corresponde a três diagonais, o que levaria a subir 9 cm, mais que a altura da malha.
D17 cm usa uma só diagonal (5+12) e não aproveita a segunda economia.
E18 cm é o caminho só pelos lados, sem diagonais.

Assunto: Teorema de Pitágoras e relações métricas.

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Questão 8 no caderno Nível 3 da OBMEP 2005

Fonte: OBMEP 2005 · Nível 3. Prova oficial ↗