Questão 9 (Nível 2) da OBMEP 2005

Resolução comentada

Os bilhetes têm 4 algarismos. Queremos que o 7 apareça exatamente 3 vezes, que o 0 não apareça e que o quarto algarismo seja outro dígito.

O quarto algarismo (diferente de 7) pode ser 1, 2, 3, 4, 5, 6, 8 ou 9. O zero está proibido, então são 8 opções. Como o número vai de 1 000 a 9 999, o primeiro algarismo nunca é zero, e isso já está garantido.

1. Escolha da posição do algarismo diferente de 7: são 4 posições possíveis (milhar, centena, dezena ou unidade).
2. Escolha desse algarismo: 8 possibilidades (1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9).
3. As outras três posições são todas 7, sem escolha.

Total:

Exemplos: 7771, 7717, 7177, 1777, 7778 etc. Em todos, o 7 aparece 3 vezes e não há zero.

Alternativa A.

Pegadinha: A alternativa E (48) engana quem esquece que o dígito diferente de 7 não pode ser 0 nem 7, e conta 12 ou outro número de opções; o certo são 8 dígitos.

Por que as outras alternativas estão erradas

• BNão corresponde a nenhuma contagem correta; resultado sem justificativa.
• CValor sem relação com a contagem 4 × 8; não vem de um raciocínio válido.
• DValor sem justificativa; não resulta de 4 posições vezes 8 algarismos.
• EUsa 12 algarismos ou 9 opções para o dígito, mas o zero e o sete ficam de fora; o correto são 8 opções.

Assunto: Princípio fundamental da contagem.

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