Questão 8 (Nível 2) da OBMEP 2005

Resolução comentada

Os múltiplos de 3 têm a forma 3k, com k inteiro. Precisamos contar quantos valores de k fazem 3k ficar entre 1 e 2 005.

1. O menor múltiplo positivo de 3 é 3\cdot 1 = 3, que já está depois do 1.
2. Para o limite superior, dividimos: 2005 \div 3 = 668{,}33\ldots, ou seja, 3\cdot 668 = 2004 e 3\cdot 669 = 2007.
3. Então o maior múltiplo de 3 menor que 2 005 é 2004, com k=668.
4. Os valores possíveis são k = 1, 2, \ldots, 668, o que dá 668 múltiplos.

Conferindo: 2 005 não é múltiplo de 3 (a soma dos algarismos é 2+0+0+5=7), então não há dúvida sobre incluir ou não o extremo. O 1 também não é múltiplo de 3. Os múltiplos são 3, 6, \ldots, 2004.

A quantidade de termos é \dfrac{2004-3}{3}+1 = 667+1 = 668.

Alternativa D.

Pegadinha: A alternativa C engana quem calcula (2004-3)/3=667 e esquece de somar 1 (fórmula de contagem de termos de uma PA).

Por que as outras alternativas estão erradas

• AValor sem justificativa, abaixo do resultado correto (668); parece vir de erro de contagem ao dividir.
• BTambém fica abaixo do correto; parece subtrair indevidamente ao contar os termos.
• CEsquece de somar 1 ao calcular (2004-3)/3, contando apenas os intervalos e não os termos.
• EUsa \lceil 2005/3\rceil = 669, incluindo 2007, que passa de 2 005.

Assunto: Divisibilidade, MMC e MDC.

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