Questão 10 (Nível 2) da OBMEP 2005

Resolução comentada

Um relógio tem 360° divididos em 12 horas, então cada hora no mostrador vale 360^\circ \div 12 = 30^\circ. O ponteiro das horas dá uma volta completa em 12 h, ou seja, anda 30^\circ a cada 60 minutos, o que dá 0{,}5^\circ por minuto.

1. Ponteiro dos minutos: às 12h30 aponta para o 6, que fica a 6 \cdot 30^\circ = 180^\circ do 12.
2. Ponteiro das horas: às 12h em ponto está no 12 (0°). Em 30 minutos ele avança 30 \cdot 0{,}5^\circ = 15^\circ, ou seja, metade do caminho até o 1. Fica a 15^\circ do 12.
3. Ângulo entre os ponteiros: 180^\circ - 15^\circ = 165^\circ.

Como 165^\circ < 180^\circ, esse já é o menor ângulo (o outro lado mediria 360^\circ - 165^\circ = 195^\circ).

O erro comum é esquecer que o ponteiro das horas anda junto com os minutos e considerá-lo parado no 12, o que daria 180^\circ.

Alternativa E.

Pegadinha: A alternativa D engana quem põe o ponteiro das horas no 1 (30°); e o valor 180° (ponteiro das horas parado no 12) nem aparece, mas leva ao mesmo tipo de erro.

Por que as outras alternativas estão erradas

• ACorresponde a um ângulo reto, que não tem relação com a posição dos ponteiros às 12h30.
• BEquivale a 4 horas no mostrador; não considera a posição real dos ponteiros.
• CSeria o ângulo para o ponteiro das horas a 45° do 12, valor sem justificativa.
• DResultado de supor o ponteiro das horas a 30° do 12 (no 1), sem lembrar que ele só andou metade.

Assunto: Ângulos, polígonos e quadriláteros.

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