Questão 19 (Nível 2) da OBMEP 2005

Question

A figura mostra um polígono ABCDEF no qual dois lados consecutivos quaisquer são perpendiculares. O ponto G está sobre o lado CD e sobre a reta que passa por A e E. Os comprimentos de alguns lados estão indicados em centímetros. Qual é a área do polígono ABCG?

Polígono ABCDEF com ângulos retos, onde a base AB mede 8 cm, a altura BC mede 6 cm, AF mede 3 cm e FE mede 2 cm. Uma linha tracejada conecta A, E e o ponto G no lado CD, delimitando a região sombreada ABCG.

A
36\ \text{cm}^2
B
37\ \text{cm}^2
C
38\ \text{cm}^2
D
39\ \text{cm}^2
E
40\ \text{cm}^2

Answer 1

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 19 (Nível 2) da OBMEP 2005

Nível 2 · Matemática: Áreas e perímetros de polígonos

A figura mostra um polígono ABCDEF no qual dois lados consecutivos quaisquer são perpendiculares. O ponto G está sobre o lado CD e sobre a reta que passa por A e E. Os comprimentos de alguns lados estão indicados em centímetros. Qual é a área do polígono ABCG?

Polígono ABCDEF com ângulos retos, onde a base AB mede 8 cm, a altura BC mede 6 cm, AF mede 3 cm e FE mede 2 cm. Uma linha tracejada conecta A, E e o ponto G no lado CD, delimitando a região sombreada ABCG.

A
36\ \text{cm}^2
B
37\ \text{cm}^2
C
38\ \text{cm}^2
D
39\ \text{cm}^2
E
40\ \text{cm}^2

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Solução oficial da OBMEP

[Figura: Desenho geométrico do polígono ABCDEF com medidas AF = 3, EF = 2, AB = 8 e BC = 6. A linha tracejada que prolonga FE até BC atinge o ponto H, e segmentos tracejados ligam A a E e E a G no lado CD, delimitando a região sombreada ABCG.]

A área pedida é igual à área do polígono ABCDEF menos a soma das áreas dos triângulos retângulos AEF e DEG. A área do triângulo AEF é \frac{AF \times EF}{2} = \frac{3 \times 2}{2} = 3\text{ cm}^2.

Vamos agora calcular a área do triângulo DEG. Para calcular DE prolongamos EF até o ponto H, obtendo assim os retângulos ABHF e CDEH. Como os lados opostos de um retângulo são iguais, segue que DE = CH = CB - BH = 6 - AF = 6 - 3 = 3. Como os lados AF e DE são paralelos, então E\hat{A}F = G\hat{E}D. Além disso AF = ED, logo os triângulos AEF e DEG são congruentes (caso ALA) e portanto, têm a mesma área. A área do retângulo ABHF é AD \times AF = 8 \times 3 = 24\text{ cm}^2, e a do retângulo CDEH é DE \times CD = 3 \times (AB - EF) = 3 \times (8 - 2) = 18\text{ cm}^2. Portanto a área procurada é 24 + 18 - 2 \times 3 = 36\text{ cm}^2. Alternativamente, a área do trapézio ABCG cuja altura é BC = 6 e cuja as bases são AB = 8 e CG = CD - GD = 6 - 2 = 4 pode ser calculada diretamente. Portanto a área é \frac{8 + 4}{2} \times 6 = 36\text{ cm}^2.

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Resolução comentada

Coloque A na origem, B em (8,0) e C em (8,6). Como AF é perpendicular a AB e mede 3, temos F em (0,3). FE é horizontal e mede 2, então E está em (2,3). O lado DE é vertical, e D fica na altura de C, ou seja, y=6. Logo G está em CD, sobre a reta y=6.

A reta que passa por A e E tem inclinação \frac{3}{2}, ou seja, y=\frac{3}{2}x.

Para achar G, impomos y=6:

6=\frac{3}{2}x \Rightarrow x=4

Assim, G está em (4,6), e CG = 8-4 = 4.

O polígono ABCG é um trapézio retângulo, com bases paralelas AB (8 cm) e GC (4 cm) e altura BC (6 cm).

Cálculo da área:

Soma das bases: 8+4=12
Multiplica pela altura: 12\cdot 6=72
Divide por 2: 72/2=36

A área é 36\ \text{cm}^2.

Alternativa A.

Por que as outras alternativas estão erradas

BValor sem base em um cálculo correto; não corresponde ao trapézio de bases 8 e 4 e altura 6.
CNão corresponde à área do trapézio com G em (4,6); provavelmente usa um valor errado para CG.
DValor sem justificativa; resulta de uma posição errada de G sobre CD.
EValor sem justificativa; seria a área com bases somando 13,33, ou seja, G em posição incorreta.

Assuntos: Áreas e perímetros de polígonos, Semelhança e Teorema de Tales.

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Questão 19 no caderno Nível 2 da OBMEP 2005

Fonte: OBMEP 2005 · Nível 2. Prova oficial ↗