Questão 20 (Nível 2) da OBMEP 2005

Resolução comentada

Sabemos que o número n de bolas satisfaz 100<n<140, ou seja, n vai de 101 a 139. As afirmações são:

• Regina: 100<n<120, ou seja, 101\le n\le 119.
• Paulo: 105<n<130, ou seja, 106\le n\le 129.
• Iracema: 120<n<140, ou seja, 121\le n\le 139.

Queremos os valores de n para os quais exatamente uma afirmação é verdadeira. Vamos testar cada faixa:

1. De 101 a 105: só Regina acerta (Paulo exige mais de 105). Valem 5 valores.
2. De 106 a 119: Regina e Paulo acertam juntas, então são 2 verdadeiras. Não servem.
3. n=120: Regina erra (precisa de menos de 120), Paulo acerta, Iracema erra (precisa de mais de 120). Só uma verdadeira. Vale 1 valor.
4. De 121 a 129: Paulo e Iracema acertam, são 2. Não servem.
5. De 130 a 139: só Iracema acerta. Valem 10 valores.

Total: 5+1+10=16 valores possíveis.

O caso n=120 é fácil de esquecer, pois ele não pertence a nenhum extremo das faixas, mas só Paulo acerta nele.

Alternativa E.

Pegadinha: O valor 120 não está na faixa de Regina nem na de Iracema, mas está na de Paulo; esquecê-lo leva a 15 e confunde na escolha.

Por que as outras alternativas estão erradas

• AConsidera apenas um valor, ignorando as faixas em que só uma afirmação é verdadeira.
• BConta só os valores de 101 a 105, em que apenas Regina acerta.
• CConta 1 + 10 de forma incompleta, omitindo os valores de 101 a 105 (ou outra contagem parcial).
• DOmite o valor 120 e conta mal as faixas, chegando a 13 em vez de 16.

Assuntos: Lógica e raciocínio lógico, Conjuntos e conjuntos numéricos.

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