Questão 18 (Nível 3) da OBMEP 2005

Question

A figura mostra um polígono ABCDEF no qual dois lados consecutivos quaisquer são perpendiculares. O ponto G está sobre o lado CD e sobre a reta que passa por A e E. Os comprimentos de alguns lados estão indicados em centímetros. Qual é o perímetro do polígono ABCG ?

Polígono ABCDEF com indicação de lados perpendiculares. O lado horizontal inferior AB mede 8, o lado vertical direito BC mede 6, o lado horizontal FE mede 3, e o desnível vertical de F a A mede 4. Uma linha tracejada passa por A e E, interceptando o lado superior CD no ponto G.

A
22 cm
B
23 cm
C
24 cm
D
25 cm
E
26 cm

Answer 1

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 18 (Nível 3) da OBMEP 2005

Nível 3 · Matemática: Semelhança e Teorema de Tales

A figura mostra um polígono ABCDEF no qual dois lados consecutivos quaisquer são perpendiculares. O ponto G está sobre o lado CD e sobre a reta que passa por A e E. Os comprimentos de alguns lados estão indicados em centímetros. Qual é o perímetro do polígono ABCG ?

Polígono ABCDEF com indicação de lados perpendiculares. O lado horizontal inferior AB mede 8, o lado vertical direito BC mede 6, o lado horizontal FE mede 3, e o desnível vertical de F a A mede 4. Uma linha tracejada passa por A e E, interceptando o lado superior CD no ponto G.

A
22 cm
B
23 cm
C
24 cm
D
25 cm
E
26 cm

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Solução oficial da OBMEP

[Figura: Esquema geométrico com os vértices A, B, C, D, E, F, G e H. Mostra uma figura poligonal formada pelos segmentos AB na base, BC vertical à direita, CD horizontal no topo, DE vertical descendo até E, EF horizontal para a esquerda e FA vertical fechando em A. Uma linha tracejada vertical estende DE até a base AB no ponto H, e uma linha tracejada diagonal conecta o vértice A ao ponto G sobre CD, passando pelo vértice E.]

O perímetro p é dado por p = AB + BC + CG + AG. Como já conhecemos AB e BC, o problema é calcular CG e AG. Para isto, precisamos determinar a medida de outros segmentos na figura, e começamos calculando a medida de CD, DE e AE. Prolongando DE até o ponto H, obtemos os retângulos AHEF e BCDH. Como num retângulo os lados opostos são iguais, temos EH = AF = 4, AH = EF = 3 e DH = BC = 6. Logo CD = BH = AB - AH = 8 - 3 = 5 e DE = DH - EH = BC - AF = 6 - 4 = 2. Para determinar AE, note que o triângulo AEF é retângulo de catetos AF = 4, EF = 3 e hipotenusa AE; do Teorema de Pitágoras segue que \text{AE} = \sqrt{3^2 + 4^2} = 5. Vamos agora calcular EG e DG. Note que os triângulos AEF e DEG são ambos retângulos e os seus ângulos em \hat{A} e \hat{E} são iguais, pois os lados AF e DE são paralelos. Logo estes triângulos são semelhantes. Temos então \frac{\text{AE}}{\text{EG}} = \frac{\text{AF}}{\text{DE}} = \frac{\text{EF}}{\text{DG}}, ou seja, \frac{5}{\text{EG}} = \frac{4}{2} = \frac{3}{\text{DG}}. Assim EG = 2{,}5 e DG = 1{,}5, donde CG = CD - DG = 5 - 1{,}5 = 3{,}5. Agora podemos calcular o perímetro pedido:

p = AB + BC + CG + GA = AB + BC + CG + GE + EA = 8 + 6 + 3{,}5 + 2{,}5 + 5 = 25\text{ cm}.

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Resolução comentada

Coloque A na origem: A=(0,0), B=(8,0), C=(8,6). O lado AF é vertical e mede 4, então F=(0,4). O lado FE é horizontal e mede 3, então E=(3,4). O lado ED sobe até a reta do topo (y=6), e D fica em (3,6). O lado CD é horizontal, em y=6, e G está sobre ele.

O perímetro de ABCG é AB + BC + CG + GA. Já temos AB = 8 e BC = 6.

A reta AE passa por A(0,0) e E(3,4), logo tem inclinação \frac{4}{3}. Ela é y=\frac{4}{3}x.

Em G, y = 6:

6=\frac{4}{3}x \Rightarrow x=\frac{9}{2}=4{,}5

Assim G=(4,5; 6).

CG = 8-4{,}5 = 3{,}5.
AG=\sqrt{4{,}5^2+6^2}=\sqrt{20{,}25+36}=\sqrt{56{,}25}=7{,}5.

Perímetro:

8+6+3{,}5+7{,}5=25

O perímetro de ABCG é 25 cm.

Alternativa D.

Por que as outras alternativas estão erradas

AValor menor que o real, que não corresponde a nenhuma soma correta dos lados.
BResulta de erro no cálculo de AG ou de CG.
CResulta de erro no cálculo de AG ou de CG, por exemplo usando CG = 3 e AG = 7.
EValor maior que o real, obtido ao superestimar CG ou AG.

Assuntos: Semelhança e Teorema de Tales, Teorema de Pitágoras e relações métricas.

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Questão 18 no caderno Nível 3 da OBMEP 2005

Fonte: OBMEP 2005 · Nível 3. Prova oficial ↗