Questão 17 (Nível 3) da OBMEP 2005

Question

O topo de uma escada de 25 m de comprimento está encostado na parede vertical de um edifício. O pé da escada está a 7 m de distância da base do edifício, como na figura. Se o topo da escada escorregar 4 m para baixo ao longo da parede, qual será o deslocamento do pé da escada?

Desenho de um edifício com uma escada inclinada apoiada em sua parede vertical, formando um triângulo retângulo com o chão. A distância horizontal da base do edifício ao pé da escada está indicada com o valor 7.

A
4 m
B
8 m
C
9 m
D
13 m
E
15 m

Answer 1

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 17 (Nível 3) da OBMEP 2005

Nível 3 · Matemática: Teorema de Pitágoras e relações métricas

O topo de uma escada de 25 m de comprimento está encostado na parede vertical de um edifício. O pé da escada está a 7 m de distância da base do edifício, como na figura. Se o topo da escada escorregar 4 m para baixo ao longo da parede, qual será o deslocamento do pé da escada?

Desenho de um edifício com uma escada inclinada apoiada em sua parede vertical, formando um triângulo retângulo com o chão. A distância horizontal da base do edifício ao pé da escada está indicada com o valor 7.

A
4 m
B
8 m
C
9 m
D
13 m
E
15 m

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Resolução comentada

Solução oficial da OBMEP

Considere o triângulo retângulo cuja hipotenusa é a escada que mede 25 m, um dos catetos é o segmento ligando o pé da escada à base do edifício, que mede 7 m, e o outro cateto é o segmento da parede do edifício que une o topo da escada ao solo. O comprimento x deste último cateto pode ser calculado imediatamente a partir do Teorema de Pitágoras: temos 25^2 = 7^2 + x^2 e obtemos x = 24\text{ m}. Quando o topo da escada escorrega 4 m para baixo, obtemos um novo triângulo retângulo, cuja hipotenusa mede 25 m e um dos catetos mede 24 - 4 = 20\text{ m}. O outro cateto y deste triângulo é determinado, outra vez, pelo Teorema de Pitágoras: temos 25^2 = 20^2 + y^2 e segue que y = 15\text{ m}. Logo, o deslocamento do pé da escada será de 15 - 7 = 8\text{ m}.

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Resolução comentada

A escada, a parede e o chão formam um triângulo retângulo. A escada é a hipotenusa (25 m) e vale o teorema de Pitágoras: hipotenusa² = cateto² + cateto².

Posição inicial. O pé está a 7 m da parede. Chamando de h a altura do topo:

h^2 + 7^2 = 25^2
h^2 = 625 - 49 = 576
h = 24\ \text{m}

Posição final. O topo desce 4 m, então a nova altura é 24 - 4 = 20\ \text{m}. A escada continua com 25 m. Chamando de d a nova distância do pé à parede:

d^2 + 20^2 = 25^2
d^2 = 625 - 400 = 225
d = 15\ \text{m}

Deslocamento do pé. Ele estava a 7 m da parede e passou a ficar a 15 m, ou seja, se afastou:

15 - 7 = 8\ \text{m}

Alternativa B.

Pegadinha: A alternativa E engana quem para ao achar 15 m, que é a nova distância até a parede, e esquece de subtrair os 7 m iniciais.

Por que as outras alternativas estão erradas

ARepete os 4 m que o topo desceu, supondo que o pé se move o mesmo tanto.
CNão corresponde a nenhum cálculo correto; a nova distância é 15 m, e a diferença para 7 m é 8 m.
DValor sem relação com a figura; não sai de nenhuma etapa correta do problema.
EÉ a nova distância do pé à parede (15 m), mas a pergunta é o deslocamento, 15 − 7.

Assunto: Teorema de Pitágoras e relações métricas.

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Questão 17 no caderno Nível 3 da OBMEP 2005

Fonte: OBMEP 2005 · Nível 3. Prova oficial ↗