Questão 3 (Nível 1) da 2ª fase da OBMEP 2023

Question

Aninha tem nove cartões numerados de 1 a 9. Ela forma sequências com esses cartões colocando alguns deles lado a lado. Uma sequência de Aninha é chamada de especial quando, para quaisquer dois cartões vizinhos, o número de um deles é múltiplo do número do outro.

Três exemplos de sequências de cartões. À esquerda, sob o título "Sequência especial", há dois cartões com os números 3 e 9. Ao centro, sob o título "Sequência especial", há quatro cartões com os números 2, 6, 1 e 5. À direita, sob o título "Sequência não especial", há três cartões com os números 4, 2 e 3.

a) Apresente uma sequência especial com sete cartões começando com 6 e 2.

Sete cartões lado a lado. Os dois primeiros têm os números 6 e 2, respectivamente, e os cinco restantes estão em branco.

b) Apresente uma sequência especial com oito cartões.

Oito cartões em branco lado a lado.

c) Apresente uma sequência especial com três cartões em que apareçam os cartões 5 e 7.

Três cartões em branco lado a lado.

d) Explique por que é impossível formar uma sequência especial com os nove cartões.

Answer 1

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 3 (Nível 1) da 2ª fase da OBMEP 2023

Nível 1 · Matemática: Divisibilidade, MMC e MDC

Aninha tem nove cartões numerados de 1 a 9. Ela forma sequências com esses cartões colocando alguns deles lado a lado. Uma sequência de Aninha é chamada de especial quando, para quaisquer dois cartões vizinhos, o número de um deles é múltiplo do número do outro.

Três exemplos de sequências de cartões. À esquerda, sob o título "Sequência especial", há dois cartões com os números 3 e 9. Ao centro, sob o título "Sequência especial", há quatro cartões com os números 2, 6, 1 e 5. À direita, sob o título "Sequência não especial", há três cartões com os números 4, 2 e 3.

a) Apresente uma sequência especial com sete cartões começando com 6 e 2.

Sete cartões lado a lado. Os dois primeiros têm os números 6 e 2, respectivamente, e os cinco restantes estão em branco.

b) Apresente uma sequência especial com oito cartões.

Oito cartões em branco lado a lado.

c) Apresente uma sequência especial com três cartões em que apareçam os cartões 5 e 7.

Três cartões em branco lado a lado.

d) Explique por que é impossível formar uma sequência especial com os nove cartões.

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Resolução comentada

Solução oficial da OBMEP

a) Para uma sequência que começa com os cartões 6 e 2, nessa ordem, o próximo cartão pode ser o de número 4, 8 ou 1. Por exemplo, sendo o 4, o cartão seguinte pode ser 8, seguido do 1, resultando em (6, 2, 4, 8, 1). Os cartões seguintes podem ser os de números 9 e 3, resultando em (6, 2, 4, 8, 1, 9, 3), uma sequência especial com sete cartões.

b) Com base na sequência anterior, com sete cartões, é possível formar uma com oito cartões: os dois últimos cartões, 9 e 3, podem ser movidos para o início da sequência anterior e o cartão de número 5 (ou 7) pode vir à direita do cartão de número 1, resultando em (9, 3, 6, 2, 4, 8, 1, 5) (ou (9, 3, 6, 2, 4, 8, 1, 7)).

c) Os números 5 e 7 são ambos múltiplos do 1. Uma sequência especial com três cartões, dentre eles os de números 5 e 7, pode ser (5, 1, 7). A outra possível é (7, 1, 5).

d) Dentre todos os cartões, os de números 5 e 7 são aqueles que podem ter menos vizinhos em uma sequência especial (exatamente um vizinho cada, que deve ser o cartão de número 1). Logo, se um deles é usado, o outro não pode ser usado para obter a maior sequência especial possível. Quando o 5 e o 7 são ambos utilizados, obtemos uma das sequências do item c). Portanto, as maiores sequências especiais com os cartões de números 5 ou 7 têm apenas um desses cartões, que deve ser posicionado em uma das suas pontas (ou no início ou no fim). Logo, é impossível formar uma sequência especial usando todos os cartões. As maiores delas têm oito cartões, tal como a do item b).

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Resolução comentada

a) Os cartões 6 e 2 já estão postos. Cada vizinho novo precisa ser múltiplo ou divisor do anterior, e o 1 serve de ponte, pois divide qualquer número.

Depois do 2, vem o 4 (múltiplo de 2), depois o 8 (múltiplo de 4) e depois o 1 (divide 8). Do 1 vamos ao 3 e, em seguida, ao 9 (múltiplo de 3):

6,\ 2,\ 4,\ 8,\ 1,\ 3,\ 9

Conferindo os pares vizinhos: 6–2, 2–4, 4–8, 8–1, 1–3 e 3–9 são todos válidos. A sequência tem 7 cartões.

Resposta: 6, 2, 4, 8, 1, 3, 9 (há outras possíveis).

b) O 5 só tem o 1 como cartão compatível, porque seus múltiplos (10, 15...) não existem e seu único outro divisor é o 1. Por isso o 5 deve ficar numa ponta, ao lado do 1. Usamos então os cartões 1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9 (tirando o 7) e começamos por 5, 1.

Depois do 1 vem o 8, depois o 4, o 2, o 6, o 3 e o 9:

5,\ 1,\ 8,\ 4,\ 2,\ 6,\ 3,\ 9

Os pares 5–1, 1–8, 8–4, 4–2, 2–6, 6–3 e 3–9 são válidos, e a sequência tem 8 cartões.

Resposta: 5, 1, 8, 4, 2, 6, 3, 9 (há outras possíveis).

c) O 5 e o 7 só combinam com o 1. Logo o 1 fica no meio, entre os dois:

5,\ 1,\ 7

Resposta: 5, 1, 7 (ou 7, 1, 5).

d) Os cartões 5 e 7 só podem ter o 1 como vizinho: nenhum outro número de 1 a 9 é múltiplo ou divisor de 5, e o mesmo vale para o 7.

Se o 5 estivesse no meio da sequência, teria dois vizinhos, e ambos precisariam ser o 1. Isso é impossível, pois só existe um cartão 1. Logo o 5 está numa ponta, com o 1 ao lado. O mesmo vale para o 7.

Usando os nove cartões, o 5 e o 7 estariam nas duas pontas, e o 1 seria vizinho dos dois. O 1 tem só dois vizinhos, que seriam o 5 e o 7, e a sequência terminaria ali: 5, 1, 7. Teria apenas 3 cartões, e não 9.

Resposta: é impossível, pois o 5 e o 7 só podem ficar ao lado do 1, o que limita a sequência a 5, 1, 7.

Assunto: Divisibilidade, MMC e MDC.

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Fonte: OBMEP 2ª fase 2023 · Nível 1. Prova oficial ↗