Questão 4 (Nível 1) da 2ª fase da OBMEP 2023

Question

Carlinhos fez todas as adições possíveis com três parcelas diferentes, em que cada parcela é um número de três algarismos iguais, sempre colocando as parcelas em ordem crescente. Por exemplo, 222 + 555 + 888 e 444 + 777 + 888 foram adições feitas por Carlinhos. Ele não fez a adição 222 + 888 + 555, pois as parcelas não estão em ordem crescente, nem a adição 444 + 444 + 777, pois nela existem parcelas iguais.

a) Escreva uma adição que Carlinhos fez em que o resultado é 1332.

b) Escreva todas as adições que Carlinhos fez em que o resultado é 2109.

c) Explique por que 2109 é o único resultado das adições que Carlinhos fez em que o algarismo das dezenas é diferente do algarismo das centenas.

Answer 1

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Questão 4 (Nível 1) da 2ª fase da OBMEP 2023

Nível 1 · Matemática: Sistemas de numeração

Carlinhos fez todas as adições possíveis com três parcelas diferentes, em que cada parcela é um número de três algarismos iguais, sempre colocando as parcelas em ordem crescente. Por exemplo, 222 + 555 + 888 e 444 + 777 + 888 foram adições feitas por Carlinhos. Ele não fez a adição 222 + 888 + 555, pois as parcelas não estão em ordem crescente, nem a adição 444 + 444 + 777, pois nela existem parcelas iguais.

a) Escreva uma adição que Carlinhos fez em que o resultado é 1332.

b) Escreva todas as adições que Carlinhos fez em que o resultado é 2109.

c) Explique por que 2109 é o único resultado das adições que Carlinhos fez em que o algarismo das dezenas é diferente do algarismo das centenas.

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Resolução comentada

Solução oficial da OBMEP

a) Há várias soluções, por exemplo: 111 + 555 + 666, 222 + 333 + 777, 333 + 444 + 555.

b) Todos os números que Carlinhos considerou são múltiplos de 111, 1 \times 111 = 111, 2 \times 111 = 222, 3 \times 111 = 333, e assim por diante. Por esse motivo, 2109, que é resultado da soma de três desses números, também é múltiplo de 111. Ao dividir 2109 por 111 obtemos quociente 19, ou seja, 2109 = 19 \times 111.

Em outras palavras, devemos encontrar todas as somas ordenadas de três parcelas para obtermos 19 \times 111. Existem 5 possibilidades, listadas a seguir.

(2 + 8 + 9) \times 111 = 222 + 888 + 999
(3 + 7 + 9) \times 111 = 333 + 777 + 999
(4 + 6 + 9) \times 111 = 444 + 666 + 999
(4 + 7 + 8) \times 111 = 444 + 777 + 888
(5 + 6 + 8) \times 111 = 555 + 666 + 888

c) As somas de três parcelas de Carlinhos resultando em um número até 999 possuem todas os mesmos algarismos da dezena e centena (não ocorre o “vai um”). Vimos no item anterior que os resultados das contas de Carlinhos são sempre múltiplos de 111. Ao somarmos 111 a 999 obtemos 111 + 999 = 110 + 1 + 999 = 110 + 1000 = 1110, cujos algarismos da dezena e centena são iguais. Ao somarmos múltiplos de 111 até 888 percebemos que não há alteração na igualdade dos algarismos da dezena e centena; portanto, esses algarismos continuam iguais até 1110 + 888 = 1998. Mas, agora, ao somarmos 111, obtemos exatamente 111 + 1998 = 109 + 2 + 1998 = 109 + 2000 = 2109, que possui algarismos de dezena e centena distintos. Continuando, notamos que ao somar 111 a esse número obtemos 2109 + 111 = 2220, que volta a ter os mesmos algarismos da dezena e da centena, e qualquer soma de múltiplos de 111 até 777 não vai mudar essa situação. O maior número que Carlinhos pode obter é 777 + 888 + 999 = (7 + 8 + 9) \times 111 = 24 \times 111 = 2664; portanto, 2109 é o único número que Carlinhos obtém com algarismos distintos na dezena e na centena.

Outra solução: As somas de Carlinhos são todas do tipo aaa + bbb + ccc, com a < b < c. A única maneira do algarismo das dezenas do resultado da conta ser diferente do das centenas ocorre quando a + b + c = 19 (“vai um” das unidades para as dezenas, depois “vai dois” das dezenas para as centenas), pois a soma a + b + c varia de 6 a 24.

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Resolução comentada

Cada parcela é 111\cdot d, com d de 1 a 9. Uma adição de Carlinhos é então 111a+111b+111c=111\cdot(a+b+c), com a<b<c algarismos de 1 a 9.

a) Como 1332 = 111\cdot 12, precisamos de três algarismos diferentes que somem 12. Uma possibilidade é 1+2+9=12:

111+222+999=1332

111 + 222 + 999 = 1332 (outras, como 111+333+888, também servem).

b) Como 2109 = 111\cdot 19, procuramos a<b<c com a+b+c=19. Testamos o maior algarismo c:

c=9: a+b=10, com b<9. Dá (2,8), (3,7) e (4,6). O par (1,9) não serve, pois repete o 9.
c=8: a+b=11, com b<8. Dá (4,7) e (5,6).
c=7: a+b=12, com b\le 6. A maior soma possível é 5+6=11, então não há solução.
c\le 6: a soma máxima é 6+5+4=15<19, então não há solução.

São cinco adições:

222 + 888 + 999, 333 + 777 + 999, 444 + 666 + 999, 444 + 777 + 888 e 555 + 666 + 888, todas com resultado 2109.

c) Seja s=a+b+c. O menor valor de s é 1+2+3=6 e o maior é 7+8+9=24. Logo o resultado é 111s, com 6\le s\le 24. Calculando:

s=6 a 9: 666, 777, 888, 999. Centena e dezena são iguais.
s=10 a 18: 1110, 1221, 1332, 1443, 1554, 1665, 1776, 1887, 1998. Centena e dezena são iguais.
s=19: 2109. Centena 1 e dezena 0, diferentes.
s=20 a 24: 2220, 2331, 2442, 2553, 2664. Centena e dezena são iguais.

Portanto, só para s=19 o algarismo das dezenas difere do das centenas. Isso acontece porque 111s tem "vai um" da casa das unidades para a das dezenas só nesse caso. Assim, 2109 é o único resultado com essa característica.

Conclusão: apenas s=19, ou seja, 2109, tem dezena diferente da centena.

Assunto: Sistemas de numeração.

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