Questão 1 (Nível 2) da 2ª fase da OBMEP 2023

Question

Aninha tem nove cartões numerados de 1 a 9. Ela forma sequências com esses cartões colocando alguns deles lado a lado. Uma sequência de Aninha é chamada de especial quando, para quaisquer dois cartões vizinhos, o número de um deles é múltiplo do número do outro.

Três exemplos de sequências de cartões lado a lado. À esquerda, sob o título "Sequência especial", estão dois cartões com os números 3 e 9. Ao centro, sob o título "Sequência especial", estão quatro cartões com os números 2, 6, 1 e 5. À direita, sob o título "Sequência não especial", estão três cartões com os números 4, 2 e 3.

a) Apresente uma sequência especial com sete cartões começando com 6 e 2.

Sete cartões lado a lado, sendo que os dois primeiros têm os números 6 e 2 e os outros cinco estão em branco.

b) Apresente uma sequência especial com oito cartões.

Oito cartões em branco lado a lado.

c) Apresente uma sequência especial com três cartões em que apareçam os cartões 5 e 7.

Três cartões em branco lado a lado.

d) Explique por que é impossível formar uma sequência especial com os nove cartões.

Answer 1

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 1 (Nível 2) da 2ª fase da OBMEP 2023

Nível 2 · Matemática: Divisibilidade, MMC e MDC

Aninha tem nove cartões numerados de 1 a 9. Ela forma sequências com esses cartões colocando alguns deles lado a lado. Uma sequência de Aninha é chamada de especial quando, para quaisquer dois cartões vizinhos, o número de um deles é múltiplo do número do outro.

Três exemplos de sequências de cartões lado a lado. À esquerda, sob o título "Sequência especial", estão dois cartões com os números 3 e 9. Ao centro, sob o título "Sequência especial", estão quatro cartões com os números 2, 6, 1 e 5. À direita, sob o título "Sequência não especial", estão três cartões com os números 4, 2 e 3.

a) Apresente uma sequência especial com sete cartões começando com 6 e 2.

Sete cartões lado a lado, sendo que os dois primeiros têm os números 6 e 2 e os outros cinco estão em branco.

b) Apresente uma sequência especial com oito cartões.

Oito cartões em branco lado a lado.

c) Apresente uma sequência especial com três cartões em que apareçam os cartões 5 e 7.

Três cartões em branco lado a lado.

d) Explique por que é impossível formar uma sequência especial com os nove cartões.

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Resolução comentada

Solução oficial da OBMEP

a) Para uma sequência que começa com os cartões 6 e 2, nessa ordem, o próximo cartão pode ser o de número 4, 8 ou 1. Por exemplo, sendo o 4, o cartão seguinte pode ser 8, seguido do 1, resultando em (6, 2, 4, 8, 1). Os cartões seguintes podem ser os de números 9 e 3, resultando em (6, 2, 4, 8, 1, 9, 3), uma sequência especial com sete cartões.

cartões: os dois últimos cartões, 9 e 3, podem ser movidos para o início da sequência anterior e o cartão de número 5 (ou 7) pode vir à direita do cartão de número 1, resultando em (9, 3, 6, 2, 4, 8, 1, 5) (ou (9, 3, 6, 2, 4, 8, 1, 7)).

c) Os números 5 e 7 são ambos múltiplos do 1. Uma sequência especial com três cartões, dentre eles os de números 5 e 7, pode ser (5, 1, 7). A outra possível é (7, 1, 5).

d) Dentre todos os cartões, os de números 5 e 7 são aqueles que podem ter menos vizinhos em uma sequência especial (exatamente um vizinho cada, que deve ser o cartão de número 1). Logo, se um deles é usado, o outro não pode ser usado para obter a maior sequência especial possível. Quando o 5 e o 7 são ambos utilizados, obtemos uma das sequências do item c). Portanto, as maiores sequências especiais com os cartões de números 5 ou 7 têm apenas um desses cartões, que deve ser posicionado em uma das suas pontas (ou no início ou no fim). Logo, é impossível formar uma sequência especial usando todos os cartões. As maiores delas têm oito cartões, tal como a do item b).

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Resolução comentada

a) Os cartões 6 e 2 já estão no começo. Faltam cinco cartões, escolhidos entre 1, 3, 4, 5, 7, 8 e 9.

Depois do 2 vem o 4, depois o 8 (2 divide 4 e 4 divide 8). O 1 divide qualquer número, então ele serve de "ponte" depois do 8. Em seguida vêm o 3 e o 9:

6,\ 2,\ 4,\ 8,\ 1,\ 3,\ 9

Conferindo os pares vizinhos: 2 divide 6, 2 divide 4, 4 divide 8, 1 divide 8, 1 divide 3 e 3 divide 9. Todos servem.

Resposta: 6,2,4,8,1,3,9 (uma das possíveis).

b) Entre 1 e 9, o 5 só tem como vizinho o 1: nenhum outro cartão é múltiplo nem divisor de 5. O mesmo vale para o 7. Por isso, em uma sequência de oito cartões, deixamos o 7 de fora e colocamos o 5 em uma ponta, ao lado do 1.

Depois do 1, arrumamos os grupos \{3,9,6\} e \{2,4,8\}. O 6 é múltiplo de 3 e de 2, então ele liga os dois grupos:

5,\ 1,\ 9,\ 3,\ 6,\ 2,\ 4,\ 8

Conferindo: 1 divide 5, 1 divide 9, 3 divide 9, 3 divide 6, 2 divide 6, 2 divide 4 e 4 divide 8. Todos servem.

Resposta: 5,1,9,3,6,2,4,8 (uma das possíveis).

c) Como 5 e 7 só podem ficar ao lado do 1, o 1 deve ficar no meio:

5,\ 1,\ 7

O 1 divide 5 e divide 7.

Resposta: 5,1,7 (ou 7,1,5).

d) O 5 e o 7 só podem ter o 1 como vizinho, como vimos acima. Em uma sequência com os nove cartões, os dois aparecem.

Se o 5 estivesse no meio da sequência, teria dois vizinhos, e ambos teriam de ser o 1. Isso é impossível, pois há só um cartão 1. Então o 5 está em uma ponta, e o mesmo vale para o 7.

Assim, o 5 e o 7 ocupam as duas pontas, e o 1 teria de ser vizinho dos dois. Com nove cartões, as pontas são as posições 1 e 9, e os vizinhos delas são as posições 2 e 8. O cartão 1 teria de estar nas duas posições ao mesmo tempo, o que é absurdo.

Resposta: é impossível, porque 5 e 7 só podem ser vizinhos do 1 e, com nove cartões, o único cartão 1 não pode ficar ao lado dos dois.

Assunto: Divisibilidade, MMC e MDC.

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Questão 1 no caderno Nível 2 da 2ª fase da OBMEP 2023

Fonte: OBMEP 2ª fase 2023 · Nível 2. Prova oficial ↗