Questão 1 (Nível 3) da 2ª fase da OBMEP 2023

Question

Aninha tem nove cartões numerados de 1 a 9. Ela forma sequências com esses cartões colocando alguns deles lado a lado. Uma sequência de Aninha é chamada de especial quando, para quaisquer dois cartões vizinhos, o número de um deles é múltiplo do número do outro.

Três exemplos de sequências de cartões. À esquerda, sob o título "Sequência especial", há dois cartões com os números 3 e 9. No centro, sob o título "Sequência especial", há quatro cartões com os números 2, 6, 1 e 5. À direita, sob o título "Sequência não especial", há três cartões com os números 4, 2 e 3.

a) Apresente uma sequência especial com sete cartões começando com 6 e 2.

Sete cartões lado a lado; os dois primeiros contêm os números 6 e 2, e os cinco restantes estão em branco.

b) Apresente uma sequência especial com oito cartões.

Oito cartões em branco lado a lado.

c) Apresente uma sequência especial com três cartões em que apareçam os cartões 5 e 7.

Três cartões em branco lado a lado.

d) Explique por que é impossível formar uma sequência especial com os nove cartões.

Answer 1

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 1 (Nível 3) da 2ª fase da OBMEP 2023

Nível 3 · Matemática: Lógica e raciocínio lógico

Aninha tem nove cartões numerados de 1 a 9. Ela forma sequências com esses cartões colocando alguns deles lado a lado. Uma sequência de Aninha é chamada de especial quando, para quaisquer dois cartões vizinhos, o número de um deles é múltiplo do número do outro.

Três exemplos de sequências de cartões. À esquerda, sob o título "Sequência especial", há dois cartões com os números 3 e 9. No centro, sob o título "Sequência especial", há quatro cartões com os números 2, 6, 1 e 5. À direita, sob o título "Sequência não especial", há três cartões com os números 4, 2 e 3.

a) Apresente uma sequência especial com sete cartões começando com 6 e 2.

Sete cartões lado a lado; os dois primeiros contêm os números 6 e 2, e os cinco restantes estão em branco.

b) Apresente uma sequência especial com oito cartões.

Oito cartões em branco lado a lado.

c) Apresente uma sequência especial com três cartões em que apareçam os cartões 5 e 7.

Três cartões em branco lado a lado.

d) Explique por que é impossível formar uma sequência especial com os nove cartões.

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Resolução comentada

Solução oficial da OBMEP

a) Para uma sequência que começa com os cartões 6 e 2, nessa ordem, o próximo cartão pode ser o de número 4, 8 ou 1. Por exemplo, sendo o 4, o cartão seguinte pode ser 8, seguido do 1, resultando em (6, 2, 4, 8, 1). Os cartões seguintes podem ser os de números 9 e 3, resultando em (6, 2, 4, 8, 1, 9, 3), uma sequência especial com sete cartões.

cartões: os dois últimos cartões, 9 e 3, podem ser movidos para o início da sequência anterior e o cartão de número 5 (ou 7) pode vir à direita do cartão de número 1, resultando em (9, 3, 6, 2, 4, 8, 1, 5) (ou (9, 3, 6, 2, 4, 8, 1, 7)).

c) Os números 5 e 7 são ambos múltiplos do 1. Uma sequência especial com três cartões, dentre eles os de números 5 e 7, pode ser (5, 1, 7). A outra possível é (7, 1, 5).

d) Dentre todos os cartões, os de números 5 e 7 são aqueles que podem ter menos vizinhos em uma sequência especial (exatamente um vizinho cada, que deve ser o cartão de número 1). Logo, se um deles é usado, o outro não pode ser usado para obter a maior sequência especial possível. Quando o 5 e o 7 são ambos utilizados, obtemos uma das sequências do item c). Portanto, as maiores sequências especiais com os cartões de números 5 ou 7 têm apenas um desses cartões, que deve ser posicionado em uma das suas pontas (ou no início ou no fim). Logo, é impossível formar uma sequência especial usando todos os cartões. As maiores delas têm oito cartões, tal como a do item b).

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Resolução comentada

a) Depois de 6 e 2, escolho cada cartão de modo que ele seja múltiplo ou divisor do anterior. Uma opção é 6, 2, 4, 8, 1, 3, 9.

Conferindo cada par de vizinhos:

6 e 2: 6 é múltiplo de 2.
2 e 4: 4 é múltiplo de 2.
4 e 8: 8 é múltiplo de 4.
8 e 1: 8 é múltiplo de 1.
1 e 3: 3 é múltiplo de 1.
3 e 9: 9 é múltiplo de 3.

A sequência tem 7 cartões e começa com 6 e 2.

Sequência: 6, 2, 4, 8, 1, 3, 9.

b) O cartão 1 combina com qualquer outro, e o 5 e o 7 só combinam com ele. Entre 1 e 9, nenhum outro cartão é múltiplo de 5 ou de 7. Por isso uso 8 cartões deixando o 7 de fora, com o 5 em uma ponta ao lado do 1. Depois do 1, sigo com 8, 4, 2, 6, 3, 9.

Conferindo:

5 e 1: 5 é múltiplo de 1.
1 e 8: 8 é múltiplo de 1.
8 e 4: 8 é múltiplo de 4.
4 e 2: 4 é múltiplo de 2.
2 e 6: 6 é múltiplo de 2.
6 e 3: 6 é múltiplo de 3.
3 e 9: 9 é múltiplo de 3.

Sequência: 5, 1, 8, 4, 2, 6, 3, 9.

c) O 5 e o 7 não são múltiplos um do outro. O 1 divide os dois, então ele fica no meio.

Sequência: 5, 1, 7 (ou 7, 1, 5).

d) Os únicos números de 1 a 9 que são múltiplos ou divisores de 5 são o 1 e o próprio 5. Os únicos que são múltiplos ou divisores de 7 são o 1 e o próprio 7. Assim, o 1 é o único cartão que pode ficar ao lado do 5, e o mesmo vale para o 7.

Um cartão no meio da sequência tem dois vizinhos. O 5 e o 7 só podem ter o 1 como vizinho, então nenhum dos dois pode estar no meio. Os dois precisam ficar nas pontas, cada um ao lado do 1.

Se o 5 e o 7 estão nas pontas, o 1 tem de estar encostado nos dois, e só existe um cartão 1. Isso só é possível com a sequência 5, 1, 7, que tem 3 cartões. Com 9 cartões, o 1 não pode ficar ao lado do 5 e do 7 ao mesmo tempo, e um dos dois ficaria sem vizinho válido.

Portanto é impossível formar uma sequência especial com os nove cartões.

Assuntos: Lógica e raciocínio lógico, Divisibilidade, MMC e MDC.

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Questão 1 no caderno Nível 3 da 2ª fase da OBMEP 2023

Fonte: OBMEP 2ª fase 2023 · Nível 3. Prova oficial ↗