Questão 2 (Nível 1) da 2ª fase da OBMEP 2023

Question

Em um tabuleiro, formado por sete hexágonos de lado 1 cm, podemos fazer figuras diferentes pintando de cinza um ou mais desses hexágonos. Dizemos que o perímetro de uma dessas figuras é o comprimento total de seu contorno. Por exemplo, as duas figuras ao lado possuem perímetros iguais a 16 cm.

Tabuleiro com sete hexágonos, tendo quatro hexágonos cinzas contíguos com contorno em linha grossa preta

a) Em cada um dos tabuleiros abaixo, pinte três hexágonos formando figuras com os perímetros indicados.

Tabuleiro de sete hexágonos em branco com a legenda Perímetro 12 cm

b) Pinte quatro hexágonos no tabuleiro abaixo formando uma figura que tenha o maior perímetro possível.

Tabuleiro de sete hexágonos em branco

c) Explique por que qualquer figura formada por hexágonos pintados tem perímetro par.

Answer 1

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Questão 2 (Nível 1) da 2ª fase da OBMEP 2023

Nível 1 · Matemática: Áreas e perímetros de polígonos

Em um tabuleiro, formado por sete hexágonos de lado 1 cm, podemos fazer figuras diferentes pintando de cinza um ou mais desses hexágonos. Dizemos que o perímetro de uma dessas figuras é o comprimento total de seu contorno. Por exemplo, as duas figuras ao lado possuem perímetros iguais a 16 cm.

Tabuleiro com sete hexágonos, tendo quatro hexágonos cinzas contíguos com contorno em linha grossa preta

a) Em cada um dos tabuleiros abaixo, pinte três hexágonos formando figuras com os perímetros indicados.

Tabuleiro de sete hexágonos em branco com a legenda Perímetro 12 cm

b) Pinte quatro hexágonos no tabuleiro abaixo formando uma figura que tenha o maior perímetro possível.

Tabuleiro de sete hexágonos em branco

c) Explique por que qualquer figura formada por hexágonos pintados tem perímetro par.

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Resolução comentada

Solução oficial da OBMEP

a) Há várias maneiras de pintar. Veja exemplos:

[Figura: Dois exemplos de malha com 7 hexágonos tendo 3 hexágonos pintados de cinza em cada uma.]

b) O maior perímetro possível com 4 hexágonos pintados é 20\text{ cm}. Veja dois exemplos:

[Figura: Dois exemplos de malha com 7 hexágonos tendo 4 hexágonos pintados de cinza em cada uma.]

Por que isso ocorre? Há apenas 6 padrões que podem ser obtidos quando pintamos 3 hexágonos (não levando em conta rotações e reflexões); são eles:

[Figura: Seis malhas com 7 hexágonos ilustrando os diferentes padrões possíveis com 3 hexágonos pintados de cinza.]

Se pintarmos de cinza um quarto hexágono, somente as duas últimas figuras poderiam produzir uma nova figura com perímetro superior a 20\text{ cm}; entretanto, como pode ser verificado diretamente, isso não ocorre já que o quarto hexágono deveria partilhar pelo menos um de seus lados com um hexágono já pintado.

c) Toda vez que pintarmos de cinza dois hexágonos com um lado em comum, a figura formada perde duas unidades de perímetro correspondentes aos lados que se tocam; logo, ou dois hexágonos pintados não se tocam (e o perímetro total é um múltiplo de 6) ou, quando se tocam, a figura formada diminui seu perímetro em um múltiplo de 2.

Assim, não existem figuras pintadas com perímetro ímpar.

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Resolução comentada

Cada hexágono tem 6 lados de 1 cm. Se pintamos k hexágonos e s pares deles têm um lado em comum, cada lado em comum deixa de fazer parte do contorno nos dois hexágonos. Assim:

P = 6k - 2s \ \text{(cm)}

No tabuleiro, o hexágono central encosta nos seis hexágonos de fora. Cada hexágono de fora encosta no central e nos dois vizinhos do anel.

a) Com k=3, temos P = 18 - 2s.

Para P=12 cm, precisamos de s=3, ou seja, três hexágonos que se tocam dois a dois. Pinte o central e dois hexágonos vizinhos do anel, por exemplo o de cima e o de cima à direita.
Para P=18 cm, precisamos de s=0, ou seja, nenhum par se tocando. Pinte três hexágonos do anel alternados: o de cima, o de baixo à direita e o de baixo à esquerda.

Respostas: 12 cm com o central e dois vizinhos do anel; 18 cm com três hexágonos alternados do anel.

b) Com k=4, temos P = 24 - 2s. Para o perímetro ser máximo, s deve ser mínimo.

Se o central for pintado, ele toca os outros 3 pintados, então s\ge 3.
Se o central não for pintado, escolhemos 4 dos 6 hexágonos do anel. Ficam sem pintar 2 hexágonos. Cada hexágono do anel tem 2 vizinhos no anel. Como são 6 contatos no anel, ao tirar 2 hexágonos não vizinhos desaparecem 4 contatos, e sobram s=2. Se os dois tirados forem vizinhos, desaparecem só 3, e sobram s=3. Logo, no melhor caso, s=2.

Assim, o menor valor possível é s=2, e o perímetro máximo é 24-4=20 cm.

Uma figura que serve: deixe sem pintar dois hexágonos opostos do anel (o de cima e o de baixo) e o central, e pinte os outros quatro.

Resposta: perímetro máximo de 20 cm.

c) Pela fórmula P = 6k - 2s, a soma dos lados de todos os hexágonos pintados é 6k, que é par. Cada lado compartilhado entre dois hexágonos pintados não está no contorno e foi contado duas vezes nessa soma, por isso subtraímos 2s. Como 6k e 2s são pares, a diferença também é par.

Resposta: o perímetro é 6k-2s, que é sempre par.

Assunto: Áreas e perímetros de polígonos.

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Questão 2 no caderno Nível 1 da 2ª fase da OBMEP 2023

Fonte: OBMEP 2ª fase 2023 · Nível 1. Prova oficial ↗