Questão 2 (Nível 3) da 2ª fase da OBMEP 2023

Question

Zequinha quer colorir os inteiros positivos de branco ou preto, obedecendo às regras abaixo:

se n é inteiro, então n e n + 5 devem ter a mesma cor;
se a e b são inteiros e n = ab for branco, então pelo menos um dos fatores a ou b deve ser branco.

a) Explique por que se o 38 for branco, o 3 também deve ser branco.

b) Explique por que se o 4 for branco, o 2 também deve ser branco.

c) Explique por que se o 1 for branco, o 4 também deve ser branco.

d) Explique por que o 2 e o 3 sempre devem ter a mesma cor.

Answer 1

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Questão 2 (Nível 3) da 2ª fase da OBMEP 2023

Nível 3 · Matemática: Divisibilidade, MMC e MDC

Zequinha quer colorir os inteiros positivos de branco ou preto, obedecendo às regras abaixo:

se n é inteiro, então n e n + 5 devem ter a mesma cor;
se a e b são inteiros e n = ab for branco, então pelo menos um dos fatores a ou b deve ser branco.

a) Explique por que se o 38 for branco, o 3 também deve ser branco.

b) Explique por que se o 4 for branco, o 2 também deve ser branco.

c) Explique por que se o 1 for branco, o 4 também deve ser branco.

d) Explique por que o 2 e o 3 sempre devem ter a mesma cor.

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Resolução comentada

Solução oficial da OBMEP

a) Aplicando a primeira regra para os inteiros n = 33 e n + 5 = 38, segue que

33 e 33 + 5 = 38

devem ter a mesma cor, bem como os inteiros

28 e 28 + 5 = 33
23 e 23 + 5 = 28
18 e 18 + 5 = 23
13 e 13 + 5 = 18
8 e 8 + 5 = 13
3 e 3 + 5 = 8

Concluímos assim, pela primeira regra, que os inteiros 3, 8, 13, 18, 23, 28 e 33 devem ter a mesma cor. Logo, se Zequinha colorir o 38 de branco, a cor do 3 deve ser branca.

b) De acordo com a segunda regra, se a e b são inteiros e n = ab for branco, então pelo menos um dos fatores a ou b deve ser branco. No caso em que a = b = 2 e n = ab = 2 \cdot 2 = 4 for branco, temos dois fatores a e b iguais a 2 em que pelo menos um deles, no caso o 2, deve ser branco. A segunda regra aplicada em quadrados perfeitos n = a^2 diz que se n = a^2 for branco então a deve ser branco.

c) Se o 1 for branco então, pela primeira regra, os inteiros 1, 1 + 5 = 6, 6 + 5 = 11 e 11 + 5 = 16 devem ter a mesma cor branca. Por outro lado, a segunda regra aplicada ao quadrado perfeito 16 = 4^2 diz que se 16 for branco então 4 deve ser branco. Logo, se o 1 for branco, o 16 e o 4 também serão brancos.

d) Temos que explicar por que o 2 e o 3 sempre terão a mesma cor segundo as regras de pintura que Zequinha deve obedecer. Vamos fazer isso justificando por que essas regras não permitem que o 2 e o 3 sejam pintados de cores diferentes. Temos duas possibilidades para o 2 e o 3 terem cores diferentes:

Caso em que 2 é preto e 3 é branco:

Nesse caso, como 3 é branco segue, pela primeira regra, que 8 = (3 + 5) será branco. Como 8 = 2 \cdot 4 e 2 é preto, segue, pela segunda regra, que 4 será necessariamente branco. Sendo 4 = 2^2 branco segue, pela segunda regra, que 2 será branco. Mas 2 não pode ser branco porque estamos no caso em que 2 é preto.

Caso em que 2 é branco e 3 é preto:

Nesse caso, como 2 é branco segue pela primeira regra que 12 = (2 + 5) + 5 será branco. Como 12 = 3 \cdot 4 e 3 é preto, segue, pela segunda regra, que 4 será necessariamente branco. Sendo 4 branco, segue, pela primeira regra, que 9 = 4 + 5 será branco. Sendo 9 = 3^2 branco, segue pela segunda regra, que 3 será branco. Mas 3 não pode ser branco porque estamos no caso em que 3 é preto.

Assim, os casos em que 2 e 3 tem cores diferentes nunca ocorrem segundo as regras de pintura que Zequinha deve obedecer.

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Resolução comentada

Ideia geral: a regra 1 diz que a cor depende só do resto da divisão por 5. A regra 2 equivale a dizer que, se a e b são pretos, então ab é preto. Se ab fosse branco, um dos fatores teria de ser branco.

a) Como 38 = 3 + 5\cdot 7, aplicando a regra 1 sete vezes temos 3, 8, 13, \dots, 38 todos com a mesma cor. Logo 38 e 3 têm a mesma cor. Se 38 é branco, o 3 também é branco.

3 deve ser branco.

b) Temos 4 = 2\cdot 2. Se 4 é branco, a regra 2 exige que pelo menos um dos fatores seja branco. Os dois fatores são o próprio 2, então o 2 é branco.

2 deve ser branco.

c) Suponha que o 1 é branco. Como 16 = 1 + 5\cdot 3, o número 16 tem a mesma cor do 1, e portanto é branco. Escrevendo 16 = 4\cdot 4, a regra 2 diz que 4 é branco.

4 deve ser branco.

d) Vamos mostrar que não é possível que 2 e 3 tenham cores diferentes. Há dois casos.

Caso 1: 2 branco e 3 preto.

9 = 3\cdot 3. Se 9 fosse branco, o 3 teria de ser branco. Como 3 é preto, 9 é preto.
4 = 9 - 5, então 4 tem a cor de 9 e é preto.
12 = 3\cdot 4 é produto de dois pretos. Se 12 fosse branco, 3 ou 4 teria de ser branco. Logo 12 é preto.
12 = 2 + 10, então 2 tem a cor de 12 e é preto. Isso contradiz 2 branco.

Caso 2: 2 preto e 3 branco.

4 = 2\cdot 2 é preto, pelo mesmo argumento do caso 1.
8 = 2\cdot 4 é preto, pois ambos os fatores são pretos.
8 = 3 + 5, então 3 tem a cor de 8 e é preto. Isso contradiz 3 branco.

Os dois casos levam a contradição. Portanto 2 e 3 têm sempre a mesma cor.

2 e 3 sempre têm a mesma cor.

Assunto: Divisibilidade, MMC e MDC.

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OBMEP 2ª fase 2023 · Questão 5 (Nível 2)d) Explique por que o 2 e o 3 sempre devem ter a mesma cor.

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Fonte: OBMEP 2ª fase 2023 · Nível 3. Prova oficial ↗