Questão 6 (Nível 2) da 2ª fase da OBMEP 2023

Resolução comentada

a)

Vamos representar cada peça por uma letra: as três casas com a mesma letra pertencem à mesma peça. As linhas do quadro correspondem às linhas do tabuleiro, de cima para baixo.

As letras A, B, C, D e E indicam as cinco peças já colocadas na figura. Mantendo suas posições, podemos completar o tabuleiro assim:

Conferindo o quadro, cada letra ocupa exatamente três casas que formam um L. Além disso, todas as casas estão preenchidas, sem sobreposição.

Uma solução é acrescentar as sete peças de F a L nas posições indicadas no quadro.

b)

Agora, chamamos de A e B as duas peças já colocadas. Podemos repetir esse mesmo par de peças nas linhas 3 e 4 e, depois, nas linhas 5 e 6. No quadro abaixo, os pontos representam casas vazias:

As casas vazias ficam separadas em duas colunas nas bordas e três pares horizontais no centro. Cada um desses grupos é reto, e grupos diferentes não se conectam por lados. Como uma peça em L precisa ocupar três casas conectadas formando uma dobra, nenhuma cabe nas casas restantes.

Basta acrescentar C, D, E e F como no quadro; nessa configuração, é impossível colocar uma sétima peça.

c)

Divida o tabuleiro nos nove blocos 2\times2 indicados pelas linhas mais grossas das figuras. Se um desses blocos tiver pelo menos três casas livres, será possível colocar nele uma peça: quaisquer três casas de um bloco 2\times2 formam um L.

Após a colocação de cinco peças, o número de casas livres é

Se cada um dos nove blocos tivesse no máximo duas casas livres, haveria, no total, no máximo

casas livres. Como existem 21, pelo princípio da casa dos pombos algum bloco tem pelo menos três casas livres, permitindo colocar outra peça.

Sempre é possível colocar a sexta peça, pois algum dos nove blocos 2\times2 tem pelo menos três casas livres.

Assunto: Lógica e raciocínio lógico.