Questão 6 (Nível 1) da 2ª fase da OBMEP 2023

Question

Um tabuleiro circular é dividido em seis setores iguais pintados alternadamente de cinza e branco. Inicialmente há uma bolinha em cada setor. As bolinhas são movimentadas em etapas obedecendo as seguintes regras:

escolhemos duas bolinhas quaisquer;
em seguida deslocamos uma dessas bolinhas para o setor vizinho no sentido horário e, simultaneamente, deslocamos a outra bolinha para o setor vizinho no sentido anti-horário.

Esquema mostrando um exemplo de movimento: no primeiro tabuleiro, uma bolinha em setor branco move-se no sentido horário para o setor cinza vizinho, e outra bolinha em setor cinza move-se no sentido anti-horário para o setor branco vizinho, resultando no tabuleiro à direita

a) Indique na figura abaixo como chegar ao tabuleiro final em três etapas.

Quatro tabuleiros circulares ligados por setas, indicando a sequência de três etapas partindo do tabuleiro inicial com 1 bolinha por setor até o tabuleiro final com 5 bolinhas no setor cinza superior e 1 bolinha no setor branco inferior; os dois tabuleiros intermediários estão vazios para preenchimento

b) Explique por que, partindo do tabuleiro inicial e após qualquer número de etapas, a quantidade total de bolinhas em todos os setores brancos é sempre ímpar.

c) Explique por que é impossível, partindo do tabuleiro inicial, colocar todas as bolinhas em um mesmo setor.

Answer 1

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 6 (Nível 1) da 2ª fase da OBMEP 2023

Nível 1 · Matemática: Lógica e raciocínio lógico

Um tabuleiro circular é dividido em seis setores iguais pintados alternadamente de cinza e branco. Inicialmente há uma bolinha em cada setor. As bolinhas são movimentadas em etapas obedecendo as seguintes regras:

escolhemos duas bolinhas quaisquer;
em seguida deslocamos uma dessas bolinhas para o setor vizinho no sentido horário e, simultaneamente, deslocamos a outra bolinha para o setor vizinho no sentido anti-horário.

Esquema mostrando um exemplo de movimento: no primeiro tabuleiro, uma bolinha em setor branco move-se no sentido horário para o setor cinza vizinho, e outra bolinha em setor cinza move-se no sentido anti-horário para o setor branco vizinho, resultando no tabuleiro à direita

a) Indique na figura abaixo como chegar ao tabuleiro final em três etapas.

Quatro tabuleiros circulares ligados por setas, indicando a sequência de três etapas partindo do tabuleiro inicial com 1 bolinha por setor até o tabuleiro final com 5 bolinhas no setor cinza superior e 1 bolinha no setor branco inferior; os dois tabuleiros intermediários estão vazios para preenchimento

b) Explique por que, partindo do tabuleiro inicial e após qualquer número de etapas, a quantidade total de bolinhas em todos os setores brancos é sempre ímpar.

c) Explique por que é impossível, partindo do tabuleiro inicial, colocar todas as bolinhas em um mesmo setor.

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Resolução comentada

Solução oficial da OBMEP

a)
[Figura: Quatro círculos divididos em seis setores alternados em cinza e branco, mostrando passos sucessivos da redistribuição de seis bolinhas entre os setores por meio de setas horizontais.]

ou, indicando os movimentos,

[Figura: Quatro círculos divididos em seis setores alternados em cinza e branco, com setas curvas indicando a movimentação de pares de bolinhas para setores vizinhos.]

b) As bolinhas que serão movimentadas podem estar:

ambas em setores cinzas;
ambas em setores brancos;
uma em um setor cinza e uma em um setor branco.

Analisemos o que acontece após um movimento em cada um desses casos.

Ambas bolinhas em setores cinzas – após um movimento, cada uma delas irá para um setor branco, ou seja, o número total de bolinhas em setores brancos irá aumentar em duas unidades;
Ambas bolinhas em setores brancos – após um movimento, cada uma delas irá para um setor cinza, ou seja, o número total de bolinhas em setores brancos irá diminuir em duas unidades;
Uma bolinha em um setor cinza e uma bolinha em setor branco – após um movimento, a bolinha do setor cinza irá para um setor branco e a bolinha do setor branco irá para um setor cinza, ou seja, o número total de bolinhas em setores brancos fica inalterado.

Pelo que vimos, após cada movimento, o número de bolinhas em setores brancos aumenta em duas unidades, diminui em duas unidades ou fica inalterado, ou seja, se é

para a quantidade de bolinhas em setores cinzas, ou seja, a partir da configuração inicial, essa quantidade também será sempre ímpar.

c) Se colocarmos todas as bolinhas em um mesmo setor cinza (ou branco), teremos um número par de bolinhas (seis) em um setor cinza (ou branco). Mas a quantidade total de bolinhas nos setores brancos (ou da cor cinza), iniciando-se como no enunciado, é sempre ímpar; logo, é impossível colocá-las todas em um mesmo setor.

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Resolução comentada

Numere os setores no sentido horário a partir do cinza de cima: S_0 (cinza, topo), S_1 (branco, direita acima), S_2 (cinza, direita abaixo), S_3 (branco, embaixo), S_4 (cinza, esquerda abaixo), S_5 (branco, esquerda acima). O tabuleiro inicial é (1,1,1,1,1,1) e o final é (5,0,0,1,0,0).

a) Para o topo ganhar 4 bolinhas, o jeito é levar para S_0 as bolinhas dos vizinhos S_1 e S_5 duas vezes.

Etapa 1: a bolinha de S_5 vai no sentido horário para S_0 e a de S_1 vai no sentido anti-horário para S_0. Resultado: (3,0,1,1,1,0).
Etapa 2: a bolinha de S_2 vai no sentido anti-horário para S_1 e a de S_4 vai no sentido horário para S_5. Resultado: (3,1,0,1,0,1).
Etapa 3: de novo, a de S_5 vai no sentido horário para S_0 e a de S_1 vai no sentido anti-horário para S_0. Resultado: (5,0,0,1,0,0), que é o tabuleiro final.

Resposta: etapa 1: S_5\to S_0 e S_1\to S_0; etapa 2: S_2\to S_1 e S_4\to S_5; etapa 3: S_5\to S_0 e S_1\to S_0.

b) Como as cores se alternam, toda bolinha que se move vai de um setor de uma cor para um setor vizinho da outra cor. Seja B o número de bolinhas nos setores brancos. Em cada etapa há três casos:

as duas bolinhas escolhidas estão em setores brancos: ambas passam para cinza e B diminui de 2;
as duas estão em setores cinza: ambas passam para branco e B aumenta de 2;
uma está em cada cor: uma sai de branco e outra entra em branco, e B não muda.

Em todos os casos, B varia em 0 ou \pm 2, então sua paridade nunca muda. No início B=3, que é ímpar. Logo, depois de qualquer número de etapas, B é ímpar.

Resposta: a paridade de B é preservada e B começa em 3, então é sempre ímpar.

c) Se as 6 bolinhas estivessem num mesmo setor, haveria dois casos:

o setor é cinza: B=0;
o setor é branco: B=6.

Nos dois casos B é par, mas pelo item (b) B é sempre ímpar. Isso é uma contradição.

Resposta: é impossível, pois reunir as 6 bolinhas num setor exigiria um número par (0 ou 6) de bolinhas nos setores brancos.

Assunto: Lógica e raciocínio lógico.

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Questão 6 no caderno Nível 1 da 2ª fase da OBMEP 2023

Fonte: OBMEP 2ª fase 2023 · Nível 1. Prova oficial ↗