Questão 2 (Nível 2) da 2ª fase da OBMEP 2023

Question

Carlinhos fez todas as adições possíveis com três parcelas diferentes, em que cada parcela é um número de três algarismos iguais, sempre colocando as parcelas em ordem crescente. Por exemplo, 222 + 555 + 888 e 444 + 777 + 888 foram adições feitas por Carlinhos. Ele não fez a adição 222 + 888 + 555, pois as parcelas não estão em ordem crescente, nem a adição 444 + 444 + 777, pois nela existem parcelas iguais.

a) Escreva uma adição que Carlinhos fez em que o resultado é 1332.

b) Escreva todas as adições que Carlinhos fez em que o resultado é 2109.

c) Explique por que 2109 é o único resultado das adições que Carlinhos fez em que o algarismo das dezenas é diferente do algarismo das centenas.

Answer 1

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Questão 2 (Nível 2) da 2ª fase da OBMEP 2023

Nível 2 · Matemática: Sistemas de numeração

Carlinhos fez todas as adições possíveis com três parcelas diferentes, em que cada parcela é um número de três algarismos iguais, sempre colocando as parcelas em ordem crescente. Por exemplo, 222 + 555 + 888 e 444 + 777 + 888 foram adições feitas por Carlinhos. Ele não fez a adição 222 + 888 + 555, pois as parcelas não estão em ordem crescente, nem a adição 444 + 444 + 777, pois nela existem parcelas iguais.

a) Escreva uma adição que Carlinhos fez em que o resultado é 1332.

b) Escreva todas as adições que Carlinhos fez em que o resultado é 2109.

c) Explique por que 2109 é o único resultado das adições que Carlinhos fez em que o algarismo das dezenas é diferente do algarismo das centenas.

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Resolução comentada

Solução oficial da OBMEP

a) Há várias soluções, por exemplo: 111 + 555 + 666, 222 + 333 + 777, 333 + 444 + 555.

b) Todos os números que Carlinhos considerou são múltiplos de 111, 1 \times 111 = 111, 2 \times 111 = 222, 3 \times 111 = 333, e assim por diante. Por esse motivo, 2109, que é resultado da soma de três desses números, também é múltiplo de 111. Ao dividir 2109 por 111 obtemos quociente 19, ou seja, 2109 = 19 \times 111.

Em outras palavras, devemos encontrar todas as somas ordenadas de três parcelas para obtermos 19 \times 111. Existem 5 possibilidades, listadas a seguir.
(2 + 8 + 9) \times 111 = 222 + 888 + 999
(3 + 7 + 9) \times 111 = 333 + 777 + 999
(4 + 6 + 9) \times 111 = 444 + 666 + 999
(4 + 7 + 8) \times 111 = 444 + 777 + 888
(5 + 6 + 8) \times 111 = 555 + 666 + 888

c) As somas de três parcelas de Carlinhos resultando em um número até 999 possuem todas os mesmos algarismos da dezena e centena (não ocorre o “vai um”). Vimos no item anterior que os resultados das contas de Carlinhos são sempre múltiplos de 111. Ao somarmos 111 a 999 obtemos 111 + 999 = 110 + 1 + 999 = 110 + 1000 = 1110, cujos algarismos da dezena e centena são iguais. Ao somarmos múltiplos de 111 até 888 percebemos que não há alteração na igualdade dos algarismos da dezena e centena; portanto, esses algarismos continuam iguais até 1110 + 888 = 1998. Mas, agora, ao somarmos 111, obtemos exatamente 111 + 1998 = 109 + 2 + 1998 = 109 + 2000 = 2109, que possui algarismos de dezena e centena distintos. Continuando, notamos que ao somar 111 a esse número obtemos 2109 + 111 = 2220, que volta a ter os mesmos algarismos da dezena e da centena, e qualquer soma de múltiplos de 111 até 777 não vai mudar essa situação. O maior número que Carlinhos pode obter é 777 + 888 + 999 = (7 + 8 + 9) \times 111 = 24 \times 111 = 2664; portanto, 2109 é o único número que Carlinhos obtém com algarismos distintos na dezena e na centena.

Outra solução: As somas de Carlinhos são todas do tipo aaa + bbb + ccc, com a < b < c. A única maneira do algarismo das dezenas do resultado da conta ser diferente do das centenas ocorre quando a + b + c = 19 (“vai um” das unidades para as dezenas, depois “vai dois” das dezenas para as centenas), pois a soma a + b + c varia de 6 a 24.

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Resolução comentada

Cada parcela é 111\cdot d, com d de 1 a 9 (111, 222, ..., 999). Se as parcelas são 111a, 111b e 111c com a<b<c, a soma é

111a+111b+111c=111\,(a+b+c).

Chamando s=a+b+c, o resultado é 111s.

a) Como 1332=111\cdot 12, basta a+b+c=12 com algarismos diferentes. Por exemplo, 1+2+9=12:

111+222+999=1332.

Outras respostas também valem, como 111+333+888 ou 222+444+666. Resposta: 111+222+999=1332 (entre outras).

b) Como 2109=111\cdot 19, precisamos de a<b<c, algarismos de 1 a 9, com a+b+c=19. Vamos por casos, a partir do maior algarismo c:

c=9: a+b=10 com a<b\le 8, o que dá (2,8), (3,7) e (4,6).
c=8: a+b=11 com a<b\le 7, o que dá (4,7) e (5,6).
c\le 7: o maior valor de a+b é 5+6=11 (para c=7), e 11+7=18<19. Não há solução.

As adições são, portanto:

222+888+999,\quad 333+777+999,\quad 444+666+999,\quad 444+777+888,\quad 555+666+888.

Resposta: essas cinco adições.

c) A soma s=a+b+c vai de 1+2+3=6 até 7+8+9=24. Vamos escrever 111s em cada faixa:

6\le s\le 9: 111s é 666, 777, 888 ou 999. As centenas e as dezenas são iguais.
s=10+k, com 0\le k\le 8: 111s=1110+111k=1000+100(k+1)+10(k+1)+k. Os algarismos são 1,\,k+1,\,k+1,\,k, então centenas e dezenas são iguais (1110, 1221, \dots, 1998).
s=19: 111\cdot 19=2109. Aqui k=9 e k+1=10 não cabe em um algarismo, então ocorre "vai um". As centenas são 1 e as dezenas são 0, que são diferentes.
s=20+j, com 0\le j\le 4: 111s=2220+111j=2000+100(2+j)+10(2+j)+j. Os algarismos são 2,\,2+j,\,2+j,\,j, então centenas e dezenas são iguais (2220, 2331, 2442, 2553, 2664).

Só s=19 quebra a igualdade, e esse valor é possível (item b). Logo 2109 é o único resultado em que o algarismo das dezenas difere do das centenas. Resposta: explicação acima.

Assunto: Sistemas de numeração.

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