Questão 4 (Nível 1) da 2ª fase da OBMEP 2022

Question

Janaína cortou uma cartolina retangular de 16 cm de comprimento e 6 cm de largura em quatro triângulos retângulos iguais, conforme mostra a figura.

Retângulo de comprimento 16 e largura 6, dividido por linhas tracejadas em quatro triângulos retângulos congruentes.

a) Qual é a área de cada um desses triângulos?

b) Em seguida, Janaína usou os quatro triângulos para montar um quadrado com um buraco no seu interior, conforme mostrado na figura. Qual é a área do buraco?

Quadrado formado por quatro triângulos retângulos amarelos em torno de um orifício quadrado central em branco.

c) Quanto mede o lado do quadrado que Janaina montou?

Mesma composição de quadrado com furo central, indicando a medida do lado vertical com uma seta de ponta dupla e um ponto de interrogação.

Answer 1

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 4 (Nível 1) da 2ª fase da OBMEP 2022

Nível 1 · Matemática: Teorema de Pitágoras e relações métricas

Janaína cortou uma cartolina retangular de 16 cm de comprimento e 6 cm de largura em quatro triângulos retângulos iguais, conforme mostra a figura.

Retângulo de comprimento 16 e largura 6, dividido por linhas tracejadas em quatro triângulos retângulos congruentes.

a) Qual é a área de cada um desses triângulos?

b) Em seguida, Janaína usou os quatro triângulos para montar um quadrado com um buraco no seu interior, conforme mostrado na figura. Qual é a área do buraco?

Quadrado formado por quatro triângulos retângulos amarelos em torno de um orifício quadrado central em branco.

c) Quanto mede o lado do quadrado que Janaina montou?

Mesma composição de quadrado com furo central, indicando a medida do lado vertical com uma seta de ponta dupla e um ponto de interrogação.

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Resolução comentada

Solução oficial da OBMEP

a) Como os 4 triângulos são iguais, basta calcular a área da folha de cartolina e dividir por 4. Portanto, qualquer um desses triângulos tem área igual a \frac{6 \times 16}{4} = 24\text{ cm}^2.

[Figura: Quadrado formado por quatro triângulos retângulos congruentes dispostos ao redor de uma abertura quadrada central. No triângulo superior esquerdo, linhas tracejadas com setas indicam as medidas dos catetos: o menor mede 6 e o maior mede 8.]

Alternativamente, vemos que os quatro triângulos são triângulos retângulos iguais e seus lados menores (catetos) têm medidas 6 e 8. Portanto, a área de cada um deles é igual a \frac{6 \times 8}{2} = 24\text{ cm}^2.

b) O buraco no centro do quadrado tem lado cuja medida é igual à diferença entre as medidas dos dois catetos dos triângulos, ou seja, 8 - 6 = 2\text{ cm}. Logo, a área do buraco é 2^2 = 4\text{ cm}^2.

c) A área do quadrado que Janaína montou é igual à soma das áreas dos 4 triângulos, mais a área do buraco. Logo, a área desse quadrado é igual a 4 \times 24 + 4 = 96 + 4 = 100\text{ cm}^2 e o lado do quadrado é \sqrt{100} = 10\text{ cm}.

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Resolução comentada

a) Pela figura, a linha vertical passa pelo meio do comprimento, então divide os 16 cm em duas partes de 8 cm. Cada triângulo retângulo tem, portanto, catetos de 8 cm (na horizontal) e 6 cm (na vertical).

\text{Área}=\frac{8\cdot 6}{2}=24\ \text{cm}^2

Área de cada triângulo: 24\ \text{cm}^2.

b) No quadrado montado, em cada triângulo o cateto menor (6 cm) está ao longo do cateto maior (8 cm) do triângulo vizinho. Sobra, no cateto maior, um trecho de 8-6=2 cm, que é o lado do buraco quadrado.

\text{Área do buraco}=2\cdot 2=4\ \text{cm}^2

Conferindo pela área total: os quatro triângulos ocupam 4\cdot 24=96\ \text{cm}^2, e 96+4=100\ \text{cm}^2 é a área do quadrado inteiro.

Área do buraco: 4\ \text{cm}^2.

c) A área do quadrado é a dos triângulos mais a do buraco: 96+4=100\ \text{cm}^2. Logo, o lado mede

\ell=\sqrt{100}=10\ \text{cm}.

Isso confere com o Teorema de Pitágoras: a hipotenusa do triângulo de catetos 6 e 8 é \sqrt{36+64}=10 cm, e é ela que forma o lado externo do quadrado.

Lado do quadrado: 10\ \text{cm}.

Assuntos: Teorema de Pitágoras e relações métricas, Áreas e perímetros de polígonos.

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OBMEP 2ª fase 2022 · Questão 3 (Nível 2)c) Quanto mede o lado do quadrado que Janaina montou?

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Questão 4 no caderno Nível 1 da 2ª fase da OBMEP 2022

Fonte: OBMEP 2ª fase 2022 · Nível 1. Prova oficial ↗