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PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 3 (Nível 2) da 2ª fase da OBMEP 2022

Nível 2 · Matemática: Teorema de Pitágoras e relações métricas

Janaína cortou uma cartolina retangular de 16 cm de comprimento e 6 cm de largura em quatro triângulos retângulos iguais, conforme mostra a figura.

Cartolina retangular de dimensões 16 por 6 dividida ao meio verticalmente e com diagonais tracejadas, formando quatro triângulos retângulos congruentes.

a) Qual é a área de cada um desses triângulos?

b) Em seguida, Janaína usou os quatro triângulos para montar um quadrado com um buraco no seu interior, conforme mostrado na figura. Qual é a área do buraco?

Quatro triângulos retângulos unidos formando um quadrado maior com um buraco central quadrado.

c) Quanto mede o lado do quadrado que Janaina montou?

Mesmo quadrado com buraco central, com uma linha vertical à esquerda com setas nas pontas e um ponto de interrogação indicando a medida do lado.

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Resolução comentada

Resolução comentada

a) A cartolina foi dividida ao meio no comprimento, então formam-se dois retângulos de 8\ \text{cm}\times 6\ \text{cm}. Cada diagonal corta um retângulo em dois triângulos retângulos de catetos 8 e 6.

A=\frac{8\cdot 6}{2}=24\ \text{cm}^2

Área de cada triângulo: 24\ \text{cm}^2.

b) Pela figura, o lado do quadrado externo é a hipotenusa de cada triângulo, e os catetos formam as linhas que vão até o buraco. Por isso o buraco é um quadrado de lado igual à diferença entre os catetos: 8-6=2\ \text{cm}.

Podemos conferir pelas áreas. O quadrado externo tem área 10^2=100\ \text{cm}^2 (a hipotenusa é calculada no item c). Os quatro triângulos ocupam 4\cdot 24=96\ \text{cm}^2.

100-96=4\ \text{cm}^2

Os dois métodos coincidem (2^2=4).

Área do buraco: 4\ \text{cm}^2.

c) O lado do quadrado montado é a hipotenusa do triângulo de catetos 6 e 8. Pelo teorema de Pitágoras:

h^2=6^2+8^2=36+64=100\Rightarrow h=10\ \text{cm}

Lado do quadrado: 10\ \text{cm}.

Assuntos: Teorema de Pitágoras e relações métricas, Áreas e perímetros de polígonos.

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Ver como caiu na prova Questão 3 no caderno Nível 2 da 2ª fase da OBMEP 2022

Fonte: OBMEP 2ª fase 2022 · Nível 2. Prova oficial ↗