Solução oficial da OBMEP
a) Escolhendo quatro números dentre os números 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9, a menor soma possível que podemos obter ocorre quando esses números são os menores possíveis, isto é, 1 + 2 + 3 + 4 = 10 . Portanto, Marco escreveu no quadrado destacado os números de 1 a 4. Fora desse quadrado, ele escreveu os números 5, 6, 7, 8 e 9, cuja soma é 5 + 6 + 7 + 8 + 9 = 35 .
b) Na figura ao lado, os dois quadrados 2 x 2 destacados estão indicados com cores diferentes e a casa central, comum a esses dois quadrados, em amarelo. As casas de cor cinza, uma no canto superior direito e outra no canto inferior esquerdo, estão fora dos quadrados destacados. A soma dos números que Marco escreveu nos quadrados destacados é igual a 21 + 26 = 47 . Esta soma pode ser representada graficamente como:
[Figura: Tabuleiro 3 x 3 com o quadrado 2 x 2 superior esquerdo em azul-claro, o quadrado 2 x 2 inferior direito em rosa, a casa central compartilhada em amarelo, e as casas nos cantos superior direito e inferior esquerdo em cinza]
[Figura: Diagrama com blocos representando a soma: bloco azul-claro em formato de L invertido de 3 casas + quadradinho amarelo + quadradinho amarelo + bloco rosa em formato de L de 3 casas = 47]
A soma de todos os números escritos por Marco é 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 = 45
Podemos representar esta soma graficamente como:
[Figura: Diagrama com blocos representando a soma: quadradinho cinza + quadradinho cinza + quadradinho amarelo + bloco azul-claro de 3 casas + bloco rosa de 3 casas = 45]
Nesta segunda soma podemos juntar mais um quadradinho de cada lado do sinal =, obtendo [Figura: diagrama com quadradinho cinza + quadradinho cinza + retângulo englobando (quadradinho amarelo + quadradinho amarelo + bloco azul-claro + bloco rosa, com uma seta apontando e indicando 47) = 45 + quadradinho amarelo]
Vemos, então, que a soma dos números escritos nos cantos mais 47 é igual a 45 mais o número escrito na casa central. Logo, o número escrito na casa central é a soma dos números escritos nos cantos mais 2. A menor soma possível para os números escritos nos cantos é 1 + 2 = 3 , portanto o menor número que Marco pode ter escrito na casa central é 3 + 2 = 5 .
Um quadrado do Marco que tem esse menor valor possível no centro é
Outra solução
O total das somas dos dois quadrados destacados é 21 + 26 = 47 . Se x é o número escrito no quadrado central, então 47 - x é a soma dos sete números que Marco escreveu naqueles dois quadrados. Isto ocorre porque a soma de todos os números escritos num dos quadrados destacados mais a soma de todos os números escritos no outro quadrado destacado conta duas vezes x . Se y é a soma dos dois números escritos fora dos quadrados destacados, então 47 - x + y = 1 + 2 + 3 + \text{...}+ 9 = 45 , logo x = 2 + y . Se y é o menor possível, então x é o menor possível. O menor valor possível de y é 1 + 2 = 3 ; logo, o menor valor possível para o número escrito no quadrado central é x = 5 .
Outro exemplo de preenchimento:
c) No quadriculado 3 x 3 temos quatro números nos cantos, um número no centro e quatro números na coluna do meio ou na linha do meio (excluindo o central).
Quando juntamos as quatro somas dos números escritos nos quadrados destacados, isto é, quando calculamos 18 + 25 + 21 + 24 , obtemos 88. Essa soma conta uma vez os números nos quatro cantos, 2 vezes os números nos quatro meios e 4 vezes o número do centro (isto é, nos quadrados destacados, os números dos cantos aparecem uma vez só em cada quadrado destacado, o número do centro aparece em todos os quatro quadrados, e cada um dos números dos meios aparece apenas em dois quadrados – verifique na figura abaixo).
[Figura: Quatro tabuleiros 3 x 3 com setas circulares conectando-os, destacando sucessivamente os quatro quadrados 2 x 2: superior esquerdo com Soma 18, superior direito com Soma 25, inferior esquerdo com Soma 21 e inferior direito com Soma 24]
Por outro lado, sabemos que a soma dos números de 1 a 9, escritos no tabuleiro 3 x 3, é 45. Assim, contando duas vezes cada número, a soma é 2 \times 45 = 90 .
Portanto,
2 vezes números dos cantos + 2 vezes números dos meios + 2 vezes número do centro = 90. Vimos que
1 vez números dos cantos + 2 vezes números dos meios + 4 vezes número do centro = 88.
Como 90 = 88 + 2 , temos
2 vezes números dos cantos + 2 vezes números dos meios + 2 vezes número do centro
Simplificando, chegamos a
1 vez os números dos cantos = 2 vezes o número do centro + 2. Mas, o enunciado nos diz que a soma dos números nos quatro cantos é 16; logo, 16 = 2 vezes o número do centro + 2. Assim,
8 = número do centro + 1, ou seja, o número do centro é igual a 7.
A figura ao lado mostra uma possibilidade de preenchimento do quadriculado (em todas elas, o número no centro é obrigatoriamente 7). Para obter uma solução, escrevemos 7 no centro e, nos cantos, escolhemos quatro números cuja soma é 16, por exemplo 1, 2, 4 e 9. Os números que restam para ficar nos meios são 3, 5, 6 e 8. Fazendo algumas tentativas controladas, obtemos uma solução como a apresentada.
Outra solução
Se 16 é a soma dos quatro números escritos nos cantos, x o número escrito no centro e y a soma dos quatro números restantes, temos
\begin{cases} 16 + x + y = 45 \\ 16 + 4x + 2y = 18 + 21 + 24 + 25 = 88 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} 32 + 2x + 2y = 90 \\ 16 + 4x + 2y = 88 \end{cases} \Rightarrow 16 - 2x = 2 \Leftrightarrow x = \frac{14}{2} = 7.
A primeira equação acima refere-se à soma dos nove números escritos no tabuleiro. A segunda equação refere-se ao total das quatro somas nos quadrados destacados, na qual os números dos cantos aparecem uma única vez, os números do meio aparecem duas vezes e o número central aparece quatro vezes. Multiplicando a primeira equação por 2 e subtraindo uma equação da outra, eliminamos y .
Outra Solução:
[Figura: Tabuleiro 3 x 3 com as 4 casas dos cantos pintadas de vermelho, as 4 casas dos meios pintadas de verde e a casa central pintada de azul]
Ao somarmos o números que aparecem nos quatro cantos (casas vermelhas) com os totais dos quatro quadrados 2 x 2 destacados (cada um com uma casa vermelha, duas casas verdes e uma casa azul), vemos que os números correspondentes às casas vermelhas são contados duas vezes, os que aparecem nas casas verdes são contados duas vezes e o que aparece na casa azul é contado quatro vezes, ou seja, essa soma nos dá duas vezes a soma de todos os números que preenchem o quadrado 3 x 3 mais duas vezes o número da casa azul. Assim, concluímos que o número da casa azul é
((16 + 18 + 25 + 21 + 24) - 2 \times 45)/2 = (104 - 90)/2 = 7.
Um outro preenchimento possível é
Ver como a OBMEP publicou Publicada pela banca.
Resolução comentada
a) Os quatro números do quadrado 2 \times 2 têm a menor soma possível quando são os quatro menores números: 1+2+3+4=10 .
A soma de todos os números é 1+2+\dots+9=45 . Os cinco números de fora somam então:
45-10=35
35
b) Chame as casas de
\begin{array}{ccc}a&b&c\d&e&f\g&h&i\end{array}
Temos a+b+d+e=21 e e+f+h+i=26 . Esses dois quadrados só têm a casa central em comum e não usam c e g . Somando as duas igualdades:
47=(45-c-g)+e \;\Rightarrow\; e=2+c+g.
Para e ser o menor possível, c+g deve ser o menor possível, ou seja, c+g\ge 1+2=3 . Logo e\ge 5 .
Vamos ver se e=5 é possível. Tome c,g=1,2 . Sobram 3,4,6,7,8,9 , que devem formar dois trios com somas 21-5=16 e 26-5=21 . Servem \{3,4,9\} , de soma 16, e \{6,7,8\} , de soma 21. Então e=5 é possível.
5
c) Com a mesma notação, as quatro somas são:
a+b+d+e=18,\quad b+c+e+f=25,\quad e+f+h+i=21,\quad d+e+g+h=24.
Somando as quatro, cada canto aparece uma vez, cada casa do meio das bordas (b,d,f,h ) aparece duas vezes e o centro aparece quatro vezes:
88=(a+c+g+i)+2(b+d+f+h)+4e.
Os cantos somam 16. Como o total é 45, temos b+d+f+h+e=45-16=29 , ou seja, b+d+f+h=29-e . Substituindo:
88=16+2(29-e)+4e=74+2e \;\Rightarrow\; e=7.
7
Assunto: Lógica e raciocínio lógico .
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