Questão 3 (Nível 1) da 2ª fase da OBMEP 2022

Question

Alice, Beatriz e Cláudia moram em uma rua de 200 metros de comprimento. Alice mora no início da rua, Beatriz a 80 metros de Alice e Cláudia no final da rua. Elas se encontram de vez em quando, sempre partindo de suas casas.

Ilustração de três meninas acenando umas para as outras em uma rua

a) Qual é a soma das distâncias que Alice e Beatriz percorrem quando elas se reúnem na casa de Cláudia?

b) Se Alice, Beatriz e Cláudia se encontrarem na rua a 150 metros do seu início, qual será a soma das distâncias que elas percorrerão?

c) As três amigas decidem se encontrar em algum ponto da rua tal que a soma das distâncias percorridas por elas seja a menor possível. A quantos metros do início da rua elas devem se encontrar?

Answer 1

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 3 (Nível 1) da 2ª fase da OBMEP 2022

Nível 1 · Matemática: Lógica e raciocínio lógico

Alice, Beatriz e Cláudia moram em uma rua de 200 metros de comprimento. Alice mora no início da rua, Beatriz a 80 metros de Alice e Cláudia no final da rua. Elas se encontram de vez em quando, sempre partindo de suas casas.

Ilustração de três meninas acenando umas para as outras em uma rua

a) Qual é a soma das distâncias que Alice e Beatriz percorrem quando elas se reúnem na casa de Cláudia?

b) Se Alice, Beatriz e Cláudia se encontrarem na rua a 150 metros do seu início, qual será a soma das distâncias que elas percorrerão?

c) As três amigas decidem se encontrar em algum ponto da rua tal que a soma das distâncias percorridas por elas seja a menor possível. A quantos metros do início da rua elas devem se encontrar?

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Resolução comentada

Solução oficial da OBMEP

a) Para responder qual é a soma das distâncias que Alice e Beatriz percorrem quando elas se reúnem na casa de Cláudia, fazemos um desenho:

[Figura: Esquema em formato de reta horizontal contendo os pontos A (CASA DA ALICE), B (CASA DA BEATRIZ) e C (CASA DA CLAUDIA). A distância entre A e B é indicada como 80 m, entre B e C como "200 – 80 = 120 m", e a distância total de A até C é indicada abaixo por uma linha pontilhada com a medida de 200 m.]

Como a distância da casa de Alice até a casa de Claudia é 200\text{ m} e a distância da casa de Beatriz até a casa de Claudia é 120\text{ m}, a soma das distâncias percorridas pelas duas é 200 + 120 = 320\text{ m}.

b) Se Alice, Beatriz e Cláudia se encontrarem a 150 metros do início da rua, teremos o desenho:

[Figura: Esquema em formato de reta horizontal com os pontos A, B, E (PONTO DE ENCONTRO) e C. A distância entre A e B é de 80 m, a distância de A até E indicada abaixo por linha pontilhada é de 150 m, e a distância de E até C indicada por linha pontilhada é de 50 m.]

Esquematicamente, (\text{A} \to \text{E}) + (\text{C} \to \text{E}) = 150 + 50 = 200\text{ m}. Além disso, (\text{B} \to \text{E}) = 150 - 80 = 70\text{ m}. A soma das distâncias será, portanto, 200 + 70 = 270\text{ m}.

c) A soma das distâncias de qualquer ponto da rua às casas de Alice e Claudia, sempre será 200\text{ m}.

Portanto, a menor soma das distâncias percorridas será no ponto onde Beatriz andar o mínimo possível, ou seja, em sua própria casa.

[Figura: Esquema com uma reta horizontal com os pontos A, B, X (UM PONTO QUALQUER DA RUA) e C. Entre A e B há a indicação de 80 m; acima, uma linha pontilhada entre B e X indica "Distância de B até X (B → X)"; abaixo, linhas pontilhadas indicam de A até X a "Distância de A até X (A → X)" e de X até C a "Distância de C até X (C → X)".]

(\text{A}\to\text{X}) + (\text{B}\to\text{X}) + (\text{C}\to\text{X}) = 200 + (\text{B}\to\text{X}) é mínima quando (\text{B}\to\text{X}) = 0.

Logo, elas devem se encontrar a 80\text{ m} do início da rua, na casa de Beatriz.

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Resolução comentada

Coloque a rua numa reta, com o início na posição 0. Alice está em 0, Beatriz em 80 e Cláudia em 200.

a) Na casa de Cláudia (posição 200), Alice percorre 200\ \text{m}. Beatriz percorre 200-80=120\ \text{m}. Cláudia já está em casa e não anda.

200+120=320\ \text{m}

Resposta: 320\ \text{m}.

b) Ponto de encontro na posição 150. Cada distância é o módulo da diferença entre a posição do encontro e a da casa:

Alice: 150-0=150\ \text{m}
Beatriz: 150-80=70\ \text{m}
Cláudia: 200-150=50\ \text{m}

150+70+50=270\ \text{m}

Resposta: 270\ \text{m}.

c) Seja x a posição do encontro, com 0\le x\le 200. A soma das distâncias é |x-0|+|x-80|+|x-200|.

Agrupe Alice e Cláudia, que ficam nas pontas. Para qualquer x entre 0 e 200, a soma das distâncias delas é sempre 200\ \text{m}, pois uma anda x e a outra anda 200-x. Isso não depende de x.

Sobra a distância de Beatriz, |x-80|, que é a menor possível (igual a zero) quando x=80, ou seja, quando o encontro é na casa dela.

Nesse caso a soma é 80+0+120=200\ \text{m}, o mínimo possível. Fora do intervalo [0,200] a soma só aumenta, então não vale a pena.

Resposta: a 80\ \text{m} do início da rua (na casa de Beatriz).

Assuntos: Lógica e raciocínio lógico, Unidades de medida e conversões.

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Questão 3 no caderno Nível 1 da 2ª fase da OBMEP 2022

Fonte: OBMEP 2ª fase 2022 · Nível 1. Prova oficial ↗