Questão 4 (Nível 2) da 2ª fase da OBMEP 2022

Question

A calculadora de Joana possui duas teclas especiais:

A tecla [A] acrescenta o algarismo 3 à direita do número que está no visor.
A tecla [S] troca o número no visor pela soma de seus algarismos.

Esquema com três calculadoras conectadas por setas: a primeira exibe o número 99 no visor; uma seta com o rótulo [A] aponta para a segunda calculadora, que exibe 993; em seguida, uma seta com o rótulo [S] aponta para a terceira calculadora, que exibe 21.

a) Partindo do número 99, se Joana apertar as teclas [A] [S] [A] [S], nessa ordem, qual número aparecerá?

b) Mostre como Joana pode obter o número 2022 a partir do 99 usando apenas as teclas [A] e [S].

c) Explique por que Joana nunca vai obter o número 22 a partir do 99 usando apenas as teclas [A] e [S].

Answer 1

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 4 (Nível 2) da 2ª fase da OBMEP 2022

Nível 2 · Matemática: Divisibilidade, MMC e MDC

A calculadora de Joana possui duas teclas especiais:

A tecla [A] acrescenta o algarismo 3 à direita do número que está no visor.
A tecla [S] troca o número no visor pela soma de seus algarismos.

Esquema com três calculadoras conectadas por setas: a primeira exibe o número 99 no visor; uma seta com o rótulo [A] aponta para a segunda calculadora, que exibe 993; em seguida, uma seta com o rótulo [S] aponta para a terceira calculadora, que exibe 21.

a) Partindo do número 99, se Joana apertar as teclas [A] [S] [A] [S], nessa ordem, qual número aparecerá?

b) Mostre como Joana pode obter o número 2022 a partir do 99 usando apenas as teclas [A] e [S].

c) Explique por que Joana nunca vai obter o número 22 a partir do 99 usando apenas as teclas [A] e [S].

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Resolução comentada

Solução oficial da OBMEP

a) Aparecerá o número 6, observe: 99 \xrightarrow{A} 993 \xrightarrow{S} 21 \xrightarrow{A} 213 \xrightarrow{S} 6

b) Podemos apertar a tecla [A] n vezes de modo a transformar o número 99 no número 99333...3 formado com dois “9´s” seguidos de n “3´s” para enfim apertar a tecla [S] e transformar esse número no número (18 + 3n).

Agora é só determinar o valor de n para que tenhamos: 18 + 3n = 2022 \Rightarrow 3n = 2004 \Rightarrow n = 668

Portanto, para transformar 99 em 2022, apertamos a tecla [A] 668 vezes e, em seguida, apertamos a tecla [S].

Em suma, para chegar em 2022 a partir de 99 é necessário usar [S] pelo menos uma vez; se isso for realizado logo na primeira vez, o 99 inicial vai contribuir com 18. A parcela restante é 2022 - 18 = 2004 é divisível por 3 e chegamos às 668, o número de vezes que a tecla [A] deve ser apertada.

c) A soma dos algarismos de um número deixa o mesmo resto na divisão por 3 que o número original. Além disso, ao acrescentarmos um algarismo 3 no final de um número, a soma de seus algarismos continua deixando o mesmo resto na divisão por 3 que o número original.

De fato, utilizaremos um exemplo com 6 algarismos, mas a generalização é essencialmente a mesma:

N = \overline{abcdef} = 100.000a + 10.000b + 1.000c + 100d + 10e + f

\Rightarrow N = (99999a + 9999b + 999c + 99d + 9e) + (a + b + c + d + e +

\text{Se } a + b + c + d + e + f = 3q + r

\Rightarrow N = 3 \times (33333a + 3333b + 333c + 33d + 3e) + 3q + r

\Rightarrow N = 3p + 3q + r \Rightarrow O resto de N na divisão por 3 também é r. Vale também a recíproca: se o resto de N na divisão por 3 é r, então a + b + c + d + e + f tem o mesmo resto r na divisão por 3.

Portanto, todos os números gerados após sucessivas aplicações de teclas [S] e [A] deixam o mesmo resto na divisão por 3 que o número original. O número 99 deixa resto 0 na divisão por 3 e o número 22 deixa resto 1 na divisão por 3; logo, não é possível partir de 99 e chegar em 22.

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Resolução comentada

a) Vamos seguindo as teclas, uma de cada vez:

[A]: 99 \to 993
[S]: 9+9+3 = 21
[A]: 21 \to 213
[S]: 2+1+3 = 6

O número que aparece é 6.

b) Cada vez que apertamos [A], o número ganha um algarismo 3 à direita. Assim, a soma dos algarismos aumenta exatamente 3 unidades.

O 99 tem soma dos algarismos 9+9=18. Se apertarmos [A] k vezes, o visor mostra 99 seguido de k algarismos 3, e a soma dos algarismos é 18+3k.

Apertando [S] em seguida, o visor passa a mostrar 18+3k. Queremos que isso seja 2022:

18+3k=2022 \Rightarrow 3k=2004 \Rightarrow k=668

Portanto, Joana aperta [A] 668 vezes, obtendo 99\underbrace{33\ldots3}_{668}, e depois aperta [S] uma vez. O visor mostra 18+3\cdot 668 = 2022.

Resposta: apertar [A] 668 vezes e depois [S] uma vez.

c) Vamos mostrar que o visor sempre exibe um múltiplo de 3.

No início, 99 é múltiplo de 3.
Um número e a soma de seus algarismos deixam o mesmo resto na divisão por 3 (ou por 9). Logo, se o número é múltiplo de 3, [S] produz outro múltiplo de 3.
Se n é o número no visor, [A] o troca por 10n+3 = 3(3n+1) + n. Se n é múltiplo de 3, então 10n+3 também é.

Assim, nenhuma tecla faz o visor deixar de ser múltiplo de 3. Como 22 = 3\cdot 7+1 não é múltiplo de 3, Joana nunca obterá 22.

Resposta: todos os números obtidos são múltiplos de 3, e 22 não é.

Assuntos: Divisibilidade, MMC e MDC, Sistemas de numeração.

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Questão 4 no caderno Nível 2 da 2ª fase da OBMEP 2022

Fonte: OBMEP 2ª fase 2022 · Nível 2. Prova oficial ↗