Questão 2 (Nível 2) da 2ª fase da OBMEP 2022

Question

A figura mostra o tabuleiro de um jogo em que o participante começa na casa 0. Em cada jogada ele lança um dado, com faces numeradas de 1 a 6, e anda o número de casas indicadas pelo dado. Quando, em uma jogada, ele termina em uma das casas especiais em amarelo, ele vai imediatamente para a casa apontada pela seta. Por exemplo, se na primeira jogada o participante obtém um 5, ele vai parar na casa 13.

Tabuleiro de jogo com casas numeradas de 0 a 31 em formato de serpente. As casas 0 e 25 têm coloração salmão; as casas 5, 11 e 19 são amarelas com setas indicativas: uma seta curva vai da casa 5 para a 13, uma seta vertical vai da casa 11 para a 3 e outra seta vertical vai da casa 19 para a 12. Há um dado vermelho no canto inferior esquerdo.

a) Se em suas três primeiras jogadas o participante obtiver 6, 5 e 2, em que casa ele vai parar?

b) Descreva uma maneira de chegar à casa 25 em apenas quatro jogadas.

1^a Jogada	2^a Jogada	3^a Jogada	4^a Jogada

c) Explique por que é impossível chegar à casa 25 em apenas três jogadas.

Answer 1

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 2 (Nível 2) da 2ª fase da OBMEP 2022

Nível 2 · Matemática: Lógica e raciocínio lógico

A figura mostra o tabuleiro de um jogo em que o participante começa na casa 0. Em cada jogada ele lança um dado, com faces numeradas de 1 a 6, e anda o número de casas indicadas pelo dado. Quando, em uma jogada, ele termina em uma das casas especiais em amarelo, ele vai imediatamente para a casa apontada pela seta. Por exemplo, se na primeira jogada o participante obtém um 5, ele vai parar na casa 13.

Tabuleiro de jogo com casas numeradas de 0 a 31 em formato de serpente. As casas 0 e 25 têm coloração salmão; as casas 5, 11 e 19 são amarelas com setas indicativas: uma seta curva vai da casa 5 para a 13, uma seta vertical vai da casa 11 para a 3 e outra seta vertical vai da casa 19 para a 12. Há um dado vermelho no canto inferior esquerdo.

a) Se em suas três primeiras jogadas o participante obtiver 6, 5 e 2, em que casa ele vai parar?

b) Descreva uma maneira de chegar à casa 25 em apenas quatro jogadas.

1^a Jogada	2^a Jogada	3^a Jogada	4^a Jogada

c) Explique por que é impossível chegar à casa 25 em apenas três jogadas.

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Resolução comentada

Solução oficial da OBMEP

a) Se o participante obtiver 6, 5 e 2, nessa ordem,

o 6 obtido na primeira jogada leva à casa 6;
o 5 obtido na segunda jogada leva à casa 11, que é amarela; a seta faz voltar à casa 3;
o 2 obtido na terceira jogada leva à casa 5, que, novamente é amarela; a seta na casa 5 faz avançar à casa 13.

[Figura: Tabuleiro em espiral numerado de 0 a 31, com casas amarelas indicando setas de avanço ou recuo: da casa 5 para a 13, da 11 para a 3 e da 19 para a 12.]

Portanto, com essa sequência, a posição final do participante será a casa 13.

Resumidamente, saiu 6: (casa 0 \rightarrow casa 6), saiu 5: (casa 6 \rightarrow casa 11 (amarela) \rightarrow casa 3) e saiu 2: (casa 3 \rightarrow casa 5 (amarela) \rightarrow casa 13).

b) Uma forma de chegar ao 25 em quatro jogadas, é ir o mais longe possível na primeira jogada (4 \times 6 = 24 < 25 e as casas 11 e 19 fazem o jogador voltar para trás). Isso ocorre quando obtemos 5 nessa jogada, uma vez que da casa 5 vamos para a casa 13. A partir da casa 13 precisamos obter 12 pontos, distribuídos em três jogadas e de forma a evitar a casa 19. Temos, no quadro, algumas dessas possibilidades.

1^a Jogada	2^a Jogada	3^a Jogada	4^a Jogada
5	4	3	5
5	4	4	4
5	3	6	3
5	5	5	2
5	5	6	1

c) Vejamos por que é impossível chegar à casa 25 em apenas três jogadas. Como em três jogadas podemos obter, com os dados, no máximo 18 pontos, para chegar a 25 teremos que obter 5 pontos na primeira jogada para chegar à casa 13. Mesmo com essa otimização não poderemos chegar à casa 25 em duas jogadas, uma vez que os 12 pontos necessários para isso somente poderão ser obtidos com duas jogadas de 6 pontos, que levarão à casa 19, obrigando a voltar à casa 12.

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Resolução comentada

a) Vamos seguir o participante jogada por jogada.

Começa em 0 e tira 6: vai para a casa 6, que não é especial.
Tira 5: 6+5=11. A casa 11 é especial e a seta leva à casa 3.
Tira 2: 3+2=5. A casa 5 também é especial e a seta leva à casa 13.

O participante para na casa 13.

b) O atalho mais útil é a casa 5, que leva à 13. Depois dele, faltam 25-13=12 casas.

Não dá para fazer 6+6, porque 13+6=19 é casa especial e a seta leva de volta à 12. Então usamos três jogadas com soma 12 que evitem as casas especiais, por exemplo 4+4+4.

1ª jogada	2ª jogada	3ª jogada	4ª jogada
5	4	4	4

O percurso é 0\to5\to13\to17\to21\to25. As casas 17 e 21 não são especiais. Uma resposta possível é a sequência 5, 4, 4, 4.

c) Vamos ver qual é a casa mais avançada que se alcança em duas jogadas.

Sem usar setas, duas jogadas levam, no máximo, à casa 12.
A seta da casa 5 leva à 13. Se o participante tira 5 na primeira jogada, está na 13. Na segunda jogada, as casas possíveis são 14, 15, 16, 17 e 18. Com o 6 ele cairia na 19, que volta para a 12.
As setas das casas 11 e 19 só fazem voltar.

Logo, depois de duas jogadas a casa mais avançada possível é a 18. Na terceira jogada, o máximo é 18+6=24, que fica antes da casa 25.

Portanto é impossível chegar à casa 25 em três jogadas.

Assunto: Lógica e raciocínio lógico.

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Questão 2 no caderno Nível 2 da 2ª fase da OBMEP 2022

Fonte: OBMEP 2ª fase 2022 · Nível 2. Prova oficial ↗