Questão 5 (Nível 1) da 2ª fase da OBMEP 2021

Question

Maria pinta, em seu caderno, figuras formadas por trapézios e hexágonos. Cada hexágono pode ser pintado de azul, bege ou cinza, e cada trapézio, de azul ou preto. Polígonos com um lado em comum não podem ter a mesma cor. A figura ao lado é um exemplo de uma pintura feita por Maria.

Página de caderno com três hexágonos e um trapézio: dois hexágonos azuis nas laterais, um hexágono bege na parte inferior central e um trapézio preto na parte superior central.

a) De quantas maneiras Maria pode pintar a figura abaixo?

Trapézio na parte superior com a base menor conectada ao lado superior de um hexágono regular.

b) De quantas maneiras Maria pode pintar a figura abaixo?

Hexágono regular central conectado a três trapézios em lados alternados: topo, inferior esquerdo e inferior direito.

c) De quantas maneiras Maria pode pintar a figura abaixo?

Dois hexágonos regulares adjacentes conectados a três trapézios, formando a silhueta de um peixe.

Answer 1

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Questão 5 (Nível 1) da 2ª fase da OBMEP 2021

Nível 1 · Matemática: Princípio fundamental da contagem

Maria pinta, em seu caderno, figuras formadas por trapézios e hexágonos. Cada hexágono pode ser pintado de azul, bege ou cinza, e cada trapézio, de azul ou preto. Polígonos com um lado em comum não podem ter a mesma cor. A figura ao lado é um exemplo de uma pintura feita por Maria.

Página de caderno com três hexágonos e um trapézio: dois hexágonos azuis nas laterais, um hexágono bege na parte inferior central e um trapézio preto na parte superior central.

a) De quantas maneiras Maria pode pintar a figura abaixo?

Trapézio na parte superior com a base menor conectada ao lado superior de um hexágono regular.

b) De quantas maneiras Maria pode pintar a figura abaixo?

Hexágono regular central conectado a três trapézios em lados alternados: topo, inferior esquerdo e inferior direito.

c) De quantas maneiras Maria pode pintar a figura abaixo?

Dois hexágonos regulares adjacentes conectados a três trapézios, formando a silhueta de um peixe.

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Resolução comentada

Solução oficial da OBMEP

a)
Maria pode pintar de azul tanto o hexágono como o trapézio e, portanto, essa cor deve ser tratada separadamente.

Caso 1: se o hexágono for pintado de azul, então, para não repetir a mesma cor no trapézio, este só pode ser pintado de preto (1 possibilidade).

Caso 2: se o hexágono não for pintado de azul (2 possibilidades), Maria poderá pintar o trapézio de azul ou de preto (2 possibilidades). Pelo princípio multiplicativo da contagem, há, então, 2 \times 2 = 4 possibilidades de pinturas.

Juntando os dois casos, vemos que Maria pode pintar a Figura 1 de 1 + 4 = 5 maneiras diferentes.

b)
Novamente, façamos a divisão em casos.

Caso 1: se o hexágono for pintado de azul por Maria, todos os três trapézios devem ser pintados de preto (1 possibilidade).

Caso 2: se o hexágono não for pintado de azul (2 possibilidades), cada um dos três trapézios da Figura 2 pode ser pintado de azul ou preto. Pelo princípio multiplicativo, há 2 \times 2 \times 2 \times 2 = 16 possibilidades de pinturas.

Juntando os dois casos, vemos que Maria pode pintar a Figura 2 de 1 + 16 = 17 maneiras diferentes.

c)
[Figura: Diagrama composto por dois hexágonos adjacentes rotulados como 1 (à esquerda) e 2 (à direita), com um trapézio rotulado como 5 à esquerda do hexágono 1, e dois trapézios acima e abaixo, rotulados respectivamente como 3 e 4, adjacentes simultaneamente aos hexágonos 1 e 2.]

Vamos enumerar as regiões de acordo com a figura ao lado:

Vamos dividir em 6 casos:

Hexágono 1 na cor azul, hexágono 2 na cor bege. Nesse caso, os trapézios 3, 4 e 5 devem ser pintados de preto (1 possibilidade).
Hexágono 1 na cor azul, hexágono 2 na cor cinza. Nesse caso, também os trapézios 3, 4 e 5 devem ser pintados de preto (1 possibilidade).
Hexágono 1 na cor bege, hexágono 2 na cor azul. Nesse caso, os trapézios 3 e 4 devem ser pintados de preto, mas o trapézio 5 pode ser pintado de azul ou preto (2 possibilidades).
Hexágono 1 na cor bege, hexágono 2 na cor cinza. Cada trapézio pode ser pintado de duas cores (2 \times 2 \times 2 = 8 possibilidades).
Hexágono 1 na cor cinza, hexágono 2 na cor azul. Nesse caso, os trapézios 3 e 4 devem ser pintados de preto e o trapézio 5 pode ser pintado de duas cores (2 possibilidades).
Hexágono 1 na cor cinza, hexágono 2 na cor bege. Cada trapézio pode ser pintado de duas cores (2 \times 2 \times 2 = 8 possibilidades).

Logo, há 1 + 1 + 2 + 8 + 2 + 8 = 22 maneiras diferentes de Maria pintar a Figura 3.

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Resolução comentada

a) O hexágono tem 3 cores possíveis. O trapézio só pode ser azul ou preto e precisa ser diferente da cor do hexágono.

Hexágono azul: o trapézio só pode ser preto, 1 maneira.
Hexágono bege: o trapézio pode ser azul ou preto, 2 maneiras.
Hexágono cinza: o trapézio pode ser azul ou preto, 2 maneiras.

Total: 1+2+2=5.

5 maneiras.

b) Os três trapézios tocam apenas o hexágono central, e só por vértices entre si. Então cada um só precisa ser diferente do hexágono.

Hexágono azul: cada trapézio é preto, o que dá 1\cdot1\cdot1=1 maneira.
Hexágono bege: cada trapézio tem 2 opções, o que dá 2^3=8 maneiras.
Hexágono cinza: igualmente, 8 maneiras.

Total: 1+8+8=17.

17 maneiras.

c) Chame de E o hexágono da esquerda e de D o da direita. Eles dividem um lado, então têm cores diferentes. O trapézio da cauda toca só E. Os trapézios de cima e de baixo tocam E e D, mas não se tocam entre si.

Separe pela presença do azul nos hexágonos:

Nenhum hexágono azul: E e D são bege e cinza, em 2 ordens. Cada um dos 3 trapézios pode ser azul ou preto: 2\cdot2^3=16.
E azul e D bege ou cinza (2 maneiras): os trapézios de cima e de baixo tocam o azul, então são pretos. A cauda também toca E azul, então é preta. Fica 2\cdot1=2.
D azul e E bege ou cinza (2 maneiras): os trapézios de cima e de baixo são pretos. A cauda só precisa ser diferente de E, que não é azul, então tem 2 opções. Fica 2\cdot2=4.

Total: 16+2+4=22.

22 maneiras.

Assunto: Princípio fundamental da contagem.

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Fonte: OBMEP 2ª fase 2021 · Nível 1. Prova oficial ↗