Questão 4 (Nível 2) da 2ª fase da OBMEP 2021

Question

Maria pinta, em seu caderno, figuras formadas por trapézios e hexágonos. Cada hexágono pode ser pintado de azul, bege ou cinza, e cada trapézio, de azul ou preto. Polígonos com um lado em comum não podem ter a mesma cor. A figura ao lado é um exemplo de uma pintura feita por Maria.

Página de caderno com uma composição de três hexágonos e um trapézio invertido entre eles; o trapézio está pintado de preto, o hexágono de baixo de bege, e os dois hexágonos superiores de azul.

a) De quantas maneiras Maria pode pintar a figura abaixo?

Um hexágono com um trapézio colado ao seu lado superior.

b) De quantas maneiras Maria pode pintar a figura abaixo?

Um hexágono central com três trapézios colados em lados alternados.

c) De quantas maneiras Maria pode pintar a figura abaixo?

Dois hexágonos unidos lado a lado com três trapézios colados nas bordas externas.

Answer 1

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 4 (Nível 2) da 2ª fase da OBMEP 2021

Nível 2 · Matemática: Princípio fundamental da contagem

Maria pinta, em seu caderno, figuras formadas por trapézios e hexágonos. Cada hexágono pode ser pintado de azul, bege ou cinza, e cada trapézio, de azul ou preto. Polígonos com um lado em comum não podem ter a mesma cor. A figura ao lado é um exemplo de uma pintura feita por Maria.

Página de caderno com uma composição de três hexágonos e um trapézio invertido entre eles; o trapézio está pintado de preto, o hexágono de baixo de bege, e os dois hexágonos superiores de azul.

a) De quantas maneiras Maria pode pintar a figura abaixo?

Um hexágono com um trapézio colado ao seu lado superior.

b) De quantas maneiras Maria pode pintar a figura abaixo?

Um hexágono central com três trapézios colados em lados alternados.

c) De quantas maneiras Maria pode pintar a figura abaixo?

Dois hexágonos unidos lado a lado com três trapézios colados nas bordas externas.

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Resolução comentada

Solução oficial da OBMEP

Item A

Maria pode pintar de azul tanto o hexágono como o trapézio e, portanto, essa cor deve ser tratada separadamente.

Caso 1: o hexágono foi pintado de azul. Então, para não repetir a mesma no trapézio, este só pode ser pintado de preto (1 possibilidade).

Caso 2: o hexágono não foi pintado de azul (2 possibilidades). Nesse caso, Maria pode pintar o trapézio de azul ou de preto (2 possibilidades). Pelo Princípio Multiplicativo da Contagem, há, então, 2 \times 2 = 4 possibilidades de pinturas.

Juntando os dois casos, vemos que Maria pode pintar a Figura 1 de 1 + 4 = 5 maneiras diferentes.

Item B

Novamente, façamos a divisão em casos:

Caso 1: O hexágono foi pintado de azul por Maria. Logo, todos os três trapézios devem ser pintados de preto (1 possibilidade).

Caso 2: O hexágono não foi pintado de azul (2 possibilidades). Nesse caso, cada um dos três trapézios da Figura 2 podem ser pintados de azul ou preto. Pelo princípio multiplicativo, há 2 \times 2 \times 2 \times 2 = 16 possibilidades de pinturas.

Juntando os dois casos, vemos que Maria pode pintar a Figura 2 de 1 + 16 = 17 maneiras diferentes.

Vamos enumerar as regiões de acordo com a figura ao lado:

[Figura: Esquema com dois hexágonos centrais adjacentes numerados com 1 e 2, cercados por três trapézios adjacentes numerados com 5 à esquerda do hexágono 1, 3 acima dos hexágonos 1 e 2, e 4 abaixo dos hexágonos 1 e 2.]

Vamos dividir em 6 casos:

Hexágono 1 na cor azul, hexágono 2 na cor bege. Nesse caso, os trapézios 3, 4 e 5 devem ser pintados de preto (1 possibilidade).
Hexágono 1 na cor azul, hexágono 2 na cor cinza. Nesse caso, também os trapézios 3, 4 e 5 devem ser pintados de preto (1 possibilidade).
Hexágono 1 na cor bege, hexágono 2 na cor azul. Nesse caso, os trapézios 3 e 4 devem ser pintados de preto, mas o trapézio 5 pode ser pintado de azul ou preto (2 possibilidades)
Hexágono 1 na cor bege, hexágono 2 na cor cinza. Cada trapézio pode ser pintado de duas cores (2 \times 2 \times 2 = 8 possibilidades)
Hexágono 1 na cor cinza, hexágono 2 na cor azul. Nesse caso, os trapézios 3 e 4 devem ser pintados de preto, e o trapézio 5 pode ser pintado de duas cores (2 possibilidades).
Hexágono 1 na cor cinza, hexágono 2 na cor bege. Cada trapézio pode ser pintado de duas cores (2 \times 2 \times 2 = 8 possibilidades).

Logo, há 1 + 1 + 2 + 8 + 2 + 8 = 22 maneiras diferentes de Maria pintar a Figura 3.

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Resolução comentada

a) O hexágono e o trapézio têm um lado em comum, então precisam ter cores diferentes. O trapézio só pode ser azul ou preto.

Hexágono azul: o trapézio só pode ser preto, o que dá 1 maneira.
Hexágono bege: o trapézio pode ser azul ou preto, o que dá 2 maneiras.
Hexágono cinza: o trapézio pode ser azul ou preto, o que dá 2 maneiras.

Total: 1+2+2=5.

Resposta: 5 maneiras.

b) Cada trapézio toca só o hexágono central. Os trapézios se encostam apenas em vértices, e isso não conta como lado em comum. Então, depois de escolher a cor do hexágono, cada trapézio é escolhido de forma independente.

Hexágono azul: cada trapézio deve ser preto, o que dá 1\cdot1\cdot1=1 maneira.
Hexágono bege: cada trapézio tem 2 opções, o que dá 2^3=8 maneiras.
Hexágono cinza: também 2^3=8 maneiras.

Total: 1+8+8=17.

Resposta: 17 maneiras.

c) Chame de H_1 o hexágono da esquerda e de H_2 o da direita. Eles têm um lado em comum, então têm cores diferentes. Os trapézios de cima e de baixo tocam os dois hexágonos. O trapézio da esquerda toca só H_1. Os três trapézios não se tocam por lados.

Separe pelos pares de cores (H_1,H_2), que são 3\cdot2=6:

Nenhum hexágono azul: os pares são (bege, cinza) e (cinza, bege). Cada trapézio tem 2 opções, o que dá 2\cdot2^3=16 maneiras.
H_1 azul e H_2 bege ou cinza (2 pares): os trapézios de cima e de baixo devem ser pretos, e o da esquerda também. Isso dá 2\cdot1=2 maneiras.
H_2 azul e H_1 bege ou cinza (2 pares): os trapézios de cima e de baixo devem ser pretos, e o da esquerda tem 2 opções. Isso dá 2\cdot2=4 maneiras.

Total: 16+2+4=22.

Resposta: 22 maneiras.

Assunto: Princípio fundamental da contagem.

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Fonte: OBMEP 2ª fase 2021 · Nível 2. Prova oficial ↗