Um dia é fantástico quando sua data, escrita na forma DD/MM/AA, contém todos os algarismos de 0 a 5. Por exemplo, o dia 12 de abril de 2053 será fantástico, pois sua data, 12/04/53, contém todos os algarismos de 0 a 5. Já o dia seguinte não será fantástico, pois sua data, 13/04/53, não contém o algarismo 2.
a) Qual será o último dia fantástico do ano de 2054?
b) Qual foi o primeiro dia fantástico depois de primeiro de janeiro de 2001?
c) Entre 2001 e 2100, quantos anos têm pelo menos um dia fantástico?
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Resolução comentada
Uma data DD/MM/AA tem 6 algarismos. Para conter os 6 algarismos de 0 a 5, ela precisa usar cada um deles exatamente uma vez, sem repetir nenhum.
a) Em 2054, o ano usa o 5 e o 4. Sobram 0, 1, 2 e 3 para o dia e o mês.
Queremos o último dia do ano, então testamos o mês 12. Ele usa o 1 e o 2, e sobram o 0 e o 3 para o dia. Os dias possíveis são 03 e 30, e o maior é 30. Outro dia de dezembro, como o 31, repetiria o 1, e dezembro só tem 31 dias.
A data 30/12/54 tem os algarismos 3, 0, 1, 2, 5, 4, todos diferentes. Logo, é a última.
Resposta: 30/12/2054.
b) Os anos são 2001, 2002, ... e só servem anos AA com algarismos distintos entre 0 e 5. O mês só pode ser 01 a 05, 10 ou 12, porque o primeiro algarismo do mês é 0 ou 1.
Testando os anos em ordem, de 01 a 12:
Anos 01, 02, 03, 04, 05 e 10: o mês e o dia ficam sem opção. Ou não sobra algarismo 0 ou 1 para o mês, ou o único mês possível é 12 e o dia teria de ser 34, 35, 45 etc., que não existem.
Anos 06 a 09: contêm algarismo maior que 5.
Ano 11: repete o 1.
Ano 12: sobram 0, 3, 4 e 5. Os meses 03, 04 e 05 deixam os dias 45, 35 ou 34, que não existem.
Ano 13: sobram 0, 2, 4 e 5. Dá certo com 25/04 e com 24/05.
A primeira data é a mais cedo em 2013, que é 25/04/13. Ela tem 2, 5, 0, 4, 1, 3.
Resposta: 25/04/2013.
c) Cada ano é um par ordenado de algarismos distintos de 0 a 5. Para cada par de algarismos do ano, verificamos se os 4 restantes formam um dia e um mês válidos.
Não servem os pares:
{0,1}, {0,2}, {0,3}, {0,4}, {0,5}
{1,2}
Nesses casos não há mês válido, ou o dia seria 34, 35 ou 45.
Servem os 9 pares abaixo, com um exemplo de data para cada:
{1,3}: 25/04
{1,4}: 25/03
{1,5}: 24/03
{2,3}: 15/04
{2,4}: 15/03
{2,5}: 14/03
{3,4}: 25/01
{3,5}: 24/01
{4,5}: 23/01
Cada par vale para os dois anos que se formam trocando a ordem dos algarismos. Por exemplo, {1,3} dá 13 e 31, ou seja, 2013 e 2031. Todos esses anos estão entre 2001 e 2100. O ano 2100 (AA = 00) repete o 0 e não serve.
