Solução oficial da OBMEP
Uma solução:
Item A
Os números inteiros nas divisões que Joãozinho fez são aqueles em que o dividendo é múltiplo do divisor, ou seja: divisões \frac{a}{b} em que a é múltiplo de b . Como a e b são dois números diferentes do conjunto \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\} , para cada possibilidade de divisor b em \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\} , devemos contar as possibilidades de dividendo a em \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\} , tais que a seja múltiplo de b e diferente de b . Temos:
para b = 1 as possibilidades para a são \{2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\} , ou seja, 8 possibilidades;
para b = 2 as possibilidades para a são \{4, 6, 8\} , ou seja, 3 possibilidades;
para b = 3 as possibilidades para a são \{6, 9\} , ou seja, 2 possibilidades;
para b = 4 a possibilidade para a é \{8\} , ou seja, 1 possibilidade;
para b = 5, 6, 7, 8, 9 não existem possibilidades para a .
Logo, Joãozinho obteve como resultado um número inteiro em 8 + 3 + 2 + 1 = 14 divisões.
Item B
Os números maiores do que 0,5 nas divisões que Joãozinho fez são aqueles em que o dividendo é maior do que a metade do divisor, ou seja: divisões \frac{a}{b} em que a é maior do que a metade de b . Como a e b são dois números diferentes do conjunto \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\} , para cada possibilidade de divisor b em \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\} , devemos contar as possibilidades de dividendo a em \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\} tais que a seja diferente de b e maior do que a metade de b . Temos:
para b = 1 as possibilidades para a são \{2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\} , ou seja, 8 possibilidades;
para b = 2 as possibilidades para a são \{3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\} , ou seja, 7 possibilidades;
para b = 3 as possibilidades para a são \{2, 4, 5, 6, 7, 8, 9\} , ou seja, 7 possibilidades;
para b = 4 as possibilidades para a são \{3, 5, 6, 7, 8, 9\} , ou seja, 6 possibilidades;
para b = 5 as possibilidades para a são \{3, 4, 6, 7, 8, 9\} , ou seja, 6 possibilidades;
para b = 6 as possibilidades para a são \{4, 5, 7, 8, 9\} , ou seja, 5 possibilidades;
para b = 7 as possibilidades para a são \{4, 5, 6, 8, 9\} , ou seja, 5 possibilidades;
para b = 8 as possibilidades para a são \{5, 6, 7, 9\} , ou seja, 4 possibilidades;
para b = 9 as possibilidades para a são \{5, 6, 7, 8\} , ou seja, 4 possibilidades.
Logo, Joãozinho obteve como resultado um número maior do que 0,5 em 8 + 7 + 7 + 6 + 6 + 5 + 5 + 4 + 4 = 52 divisões.
Item C
Os resultados diferentes nas divisões que Joãozinho fez são aqueles em que o dividendo e o divisor não possuem fatores comuns, ou seja: divisões \frac{a}{b} em que a e b são primos entre si, pois, se houver um fator comum k a a e b , então a = k \times a' e b = k \times b' , e esse fator comum k pode ser cancelado na divisão \frac{a}{b} = \frac{k \times a'}{k \times b'} = \frac{a'}{b'} , e a nova divisão \frac{a'}{b'} , também será uma divisão feita por Joãozinho. Como a e b são dois números diferentes do conjunto \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\} , para cada possibilidade de divisor b em \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\} , devemos contar as possibilidades de dividendo a em \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\} tais que a e b sejam primos entre si. Temos:
para b = 1 as possibilidades para a são \{2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\} , ou seja, 8 possibilidades;
para b = 2 as possibilidades para a são \{1, 3, 5, 7, 9\} , ou seja, 5 possibilidades;
para b = 3 as possibilidades para a são \{1, 2, 4, 5, 7, 8\} , ou seja, 6 possibilidades;
para b = 4 as possibilidades para a são \{1, 3, 5, 7, 9\} , ou seja, 5 possibilidades;
para b = 5 as possibilidades para a são \{1, 2, 3, 4, 6, 7, 8, 9\} , ou seja, 8 possibilidades;
para b = 6 as possibilidades para a são \{1, 5, 7\} , ou seja, 3 possibilidades;
para b = 7 as possibilidades para a são \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9\} , ou seja, 8 possibilidades;
para b = 8 as possibilidades para a são \{1, 3, 5, 7, 9\} , ou seja, 5 possibilidades;
para b = 9 as possibilidades para a são \{1, 2, 4, 5, 7, 8\} , ou seja, 6 possibilidades.
Logo, Joãozinho obteve 8 + 5 + 6 + 5 + 8 + 3 + 8 + 5 + 6 = 54 resultados diferentes nas suas divisões.
Outra solução:
[Figura: Tabela de dupla entrada de numerador (1 a 9) por denominador (1 a 9), indicando as frações possíveis formadas por termos distintos, com as frações irredutíveis destacadas com fundo cinza]
Como Joãozinho fez todas as divisões possíveis com dois números diferentes do conjunto \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\} , no total ele fez 9 \times 8 = 72 divisões, conforme mostra a tabela ao lado.
Item A
Joãozinho obteve como resultado um número inteiro nas divisões em que o numerador é um múltiplo do denominador, ou seja:
nas oito divisões em que o denominador é igual a um: \frac{2}{1} , \frac{3}{1} , \frac{4}{1} , \frac{5}{1} , \frac{6}{1} , \frac{7}{1} , \frac{8}{1} , \frac{9}{1} ;
em uma divisão em que o denominador é igual a quatro: \frac{8}{4} .
Logo, Joãozinho obteve como resultado um número inteiro em 14 divisões.
Item B
Joãozinho obteve como resultado um número maior do que 0,5 nas divisões em que o numerador é maior do que a metade do denominador, ou seja:
nas oito divisões em que o denominador é igual a um: \frac{2}{1} , \frac{3}{1} , \frac{4}{1} , \frac{5}{1} , \frac{6}{1} , \frac{7}{1} , \frac{8}{1} , \frac{9}{1} ;
em sete divisões em que o denominador é igual a dois: \frac{3}{2} , \frac{4}{2} , \frac{5}{2} , \frac{6}{2} , \frac{7}{2} , \frac{8}{2} , \frac{9}{2} ;
em sete divisões em que o denominador é igual a três: \frac{2}{3} , \frac{4}{3} , \frac{5}{3} , \frac{6}{3} , \frac{7}{3} , \frac{8}{3} , \frac{9}{3} ;
em seis divisões em que o denominador é igual a quatro: \frac{3}{4} , \frac{5}{4} , \frac{6}{4} , \frac{7}{4} , \frac{8}{4} , \frac{9}{4} ;
em seis divisões em que o denominador é igual a cinco: \frac{3}{5} , \frac{4}{5} , \frac{6}{5} , \frac{7}{5} , \frac{8}{5} , \frac{9}{5} ;
em cinco divisões em que o denominador é igual a seis: \frac{4}{6} , \frac{5}{6} , \frac{7}{6} , \frac{8}{6} , \frac{9}{6} ;
em cinco divisões em que o denominador é igual a sete: \frac{4}{7} , \frac{5}{7} , \frac{6}{7} , \frac{8}{7} , \frac{9}{7} ;
em quatro divisões em que o denominador é igual a oito: \frac{5}{8} , \frac{6}{8} , \frac{7}{8} , \frac{9}{8} ;
em quatro divisões em que o denominador é igual a nove: \frac{5}{9} , \frac{6}{9} , \frac{7}{9} , \frac{8}{9} .
Logo, Joãozinho obteve como resultado um número maior do que 0,5 em 8 + 7 + 7 + 6 + 6 + 5 + 5 + 4 + 4 = 52 divisões.
Item C
Para saber quantos resultados diferentes Joãozinho, obteve é preciso contar as divisões que não podem ser simplificadas, ou seja, aquelas em que o numerador e o denominador são primos entre si, ou seja:
oito em que o denominador é igual a um: 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9;
cinco em que o denominador é igual a dois: \frac{1}{2} , \frac{3}{2} , \frac{5}{2} , \frac{7}{2} , \frac{9}{2} ;
seis em que o denominador é igual a três: \frac{1}{3} , \frac{2}{3} , \frac{4}{3} , \frac{5}{3} , \frac{7}{3} , \frac{8}{3} ;
oito em que o denominador é igual a sete: \frac{1}{7} , \frac{2}{7} , \frac{3}{7} , \frac{4}{7} , \frac{5}{7} , \frac{6}{7} , \frac{8}{7} , \frac{9}{7} ;
cinco em que o denominador é igual a oito: \frac{1}{8} , \frac{3}{8} , \frac{5}{8} , \frac{7}{8} , \frac{9}{8} ;
seis em que o denominador é igual a nove: \frac{1}{9} , \frac{2}{9} , \frac{4}{9} , \frac{5}{9} , \frac{7}{9} , \frac{8}{9} .
Logo, Joãozinho obteve 8 + 5 + 6 + 5 + 8 + 3 + 8 + 5 + 6 = 54 resultados diferentes.
Outra maneira de contar os resultados diferentes que Joãozinho obteve é retirar das 72 divisões que ele fez aquelas em que o numerador e o denominador são ambos múltiplos de 2, 3, 5 ou 7. Como os numeradores e denominadores são números diferentes do conjunto \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\} , temos:
numerador e denominador ambos múltiplos de 2:
4 possibilidades para um (2, 4, 6 ou 8) e 3 possibilidades (a deve ser diferente de b ) para outro: 4 \times 3 = 12
numerador e denominador ambos múltiplos de 3:
3 possibilidades para um (3, 6, 9) e 2 possibilidades (a deve ser diferente de b ) para outro: 3 \times 2 = 6
numerador e denominador ambos múltiplos de 5:
1 possibilidade para um (somente o 5) e 0 possibilidade para outro: 1 \times 0 = 0
numerador e denominador ambos múltiplos de 7:
1 possibilidade para um (somente o 7) e 0 possibilidade para outro: 1 \times 0 = 0
Logo, Joãozinho obteve 72 - 12 - 6 = 54 resultados diferentes. Esses 54 números aparecem em cinza na tabela anterior.
Ver como a OBMEP publicou Publicada pela banca.
