Questão 2 (Nível 3) da 2ª fase da OBMEP 2021

Question

Maria pinta, em seu caderno, figuras formadas por trapézios e hexágonos. Cada hexágono pode ser pintado de azul, bege ou cinza, e cada trapézio, de azul ou preto. Polígonos com um lado em comum não podem ter a mesma cor. A figura ao lado é um exemplo de uma pintura feita por Maria.

Desenho em uma folha de caderno espiral mostrando três hexágonos e um trapézio: dois hexágonos azuis nas extremidades superiores, um hexágono bege na parte inferior e um trapézio preto posicionado entre eles.

a) De quantas maneiras Maria pode pintar a figura abaixo?

Um hexágono regular com um trapézio isósceles sobreposto ao seu lado superior.

b) De quantas maneiras Maria pode pintar a figura abaixo?

Um hexágono regular central circundado por três trapézios isósceles apoiados em três lados alternados.

c) De quantas maneiras Maria pode pintar a figura abaixo?

Dois hexágonos regulares unidos lado a lado com três trapézios adjacentes a lados externos: um à esquerda, um no topo e um na base.

Answer 1

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 2 (Nível 3) da 2ª fase da OBMEP 2021

Nível 3 · Matemática: Princípio fundamental da contagem

Maria pinta, em seu caderno, figuras formadas por trapézios e hexágonos. Cada hexágono pode ser pintado de azul, bege ou cinza, e cada trapézio, de azul ou preto. Polígonos com um lado em comum não podem ter a mesma cor. A figura ao lado é um exemplo de uma pintura feita por Maria.

Desenho em uma folha de caderno espiral mostrando três hexágonos e um trapézio: dois hexágonos azuis nas extremidades superiores, um hexágono bege na parte inferior e um trapézio preto posicionado entre eles.

a) De quantas maneiras Maria pode pintar a figura abaixo?

Um hexágono regular com um trapézio isósceles sobreposto ao seu lado superior.

b) De quantas maneiras Maria pode pintar a figura abaixo?

Um hexágono regular central circundado por três trapézios isósceles apoiados em três lados alternados.

c) De quantas maneiras Maria pode pintar a figura abaixo?

Dois hexágonos regulares unidos lado a lado com três trapézios adjacentes a lados externos: um à esquerda, um no topo e um na base.

Reportar erro na questão

Resolução comentada

Solução oficial da OBMEP

a)
Maria pode pintar de azul tanto o hexágono como o trapézio e, portanto, essa cor deve ser tratada separadamente.

Caso 1: o hexágono foi pintado de azul. Então, para não repetir a mesma no trapézio, este só pode ser pintado de preto (1 possibilidade).

Caso 2: o hexágono não foi pintado de azul (2 possibilidades). Nesse caso, Maria pode pintar o trapézio de azul ou de preto (2 possibilidades). Pelo Princípio Multiplicativo da Contagem, há, então, 2 \times 2 = 4 possibilidades de pinturas.

Juntando os dois casos, vemos que Maria pode pintar a Figura 1 de 1 + 4 = 5 maneiras diferentes.

b)
Novamente, façamos a divisão em casos:

Caso 1: O hexágono foi pintado de azul por Maria. Logo, todos os três trapézios devem ser pintados de preto (1 possibilidade).

Caso 2: O hexágono não foi pintado de azul (2 possibilidades). Nesse caso, cada um dos três trapézios da Figura 2 podem ser pintados de azul ou preto. Pelo princípio multiplicativo, há 2 \times 2 \times 2 \times 2 = 16 possibilidades de pinturas.

Juntando os dois casos, vemos que Maria pode pintar a Figura 2 de 1 + 16 = 17 maneiras diferentes.

c)
[Figura: Esquema geométrico com dois hexágonos centrais adjacentes numerados com 1 e 2, circundados por três trapézios: 3 na parte superior, 4 na parte inferior e 5 à esquerda do hexágono 1.]

Vamos enumerar as regiões de acordo com a figura ao lado:

Vamos dividir em 6 casos:

Hexágono 1 na cor azul, hexágono 2 na cor bege. Nesse caso, os trapézios 3, 4 e 5 devem ser pintados de preto (1 possibilidade).
Hexágono 1 na cor azul, hexágono 2 na cor cinza. Nesse caso, também os trapézios 3, 4 e 5 devem ser pintados de preto (1 possibilidade).
Hexágono 1 na cor bege, hexágono 2 na cor azul. Nesse caso, os trapézios 3 e 4devem ser pintados de preto, mas o trapézio 5 pode ser pintado de azul ou preto(2 possibilidades)
Hexágono 1 na cor bege, hexágono 2 na cor cinza. Cada trapézio pode ser pintado de duas cores (2 \times 2 \times 2 = 8 possibilidades)
Hexágono 1 na cor cinza, hexágono 2 na cor azul. Nesse caso, os trapézios 3e 4 devem ser pintados de preto, e o trapézio 5 pode ser pintado de duas cores (2 possibilidades).
Hexágono 1 na cor cinza, hexágono 2 na cor bege. Cada trapézio pode ser pintado de duas cores (2 \times 2 \times 2 = 8 possibilidades).

Logo, há 1 + 1 + 2 + 8 + 2 + 8 = 22 maneiras diferentes de Maria pintar a Figura 3.

Ver como a OBMEP publicou

Publicada pela banca.

Resolução comentada

a) O hexágono e o trapézio dividem um lado, então precisam ter cores diferentes. O trapézio só pode ser azul ou preto. Separando pela cor do hexágono:

hexágono azul: o trapézio só pode ser preto, 1 maneira;
hexágono bege: o trapézio pode ser azul ou preto, 2 maneiras;
hexágono cinza: o trapézio pode ser azul ou preto, 2 maneiras.

Total: 1+2+2=5.

5 maneiras.

b) Cada trapézio tem lado em comum apenas com o hexágono central. Os trapézios se tocam só em vértices, então não há restrição entre eles. Fixamos a cor do hexágono e contamos as cores de cada trapézio:

hexágono azul: os três trapézios precisam ser pretos, 1 maneira;
hexágono bege: cada trapézio tem 2 opções, 2\cdot2\cdot2=8 maneiras;
hexágono cinza: igualmente, 8 maneiras.

Total: 1+8+8=17.

17 maneiras.

c) Chamo os hexágonos de E (esquerdo) e D (direito), e os trapézios de P (esquerda), T (topo) e B (base). Pela figura:

E e D têm um lado em comum;
T e B têm, cada um, lado em comum com E e com D;
P tem lado em comum apenas com E.

Como E\neq D, há 6 pares ordenados de cores para os hexágonos. Separo em casos:

E azul (D bege ou cinza, 2 pares): T e B não podem ser azuis, então são pretos. P também precisa ser preto. Isso dá 2\cdot1=2 maneiras.
D azul (E bege ou cinza, 2 pares): T e B são pretos. P só precisa diferir de E, que não é azul, então tem 2 opções. Isso dá 2\cdot2=4 maneiras.
Nenhum azul (E e D são bege e cinza, em 2 ordens): T, B e P não têm conflito, e cada um tem 2 opções. Isso dá 2\cdot2^3=16 maneiras.

Total: 2+4+16=22.

22 maneiras.

Assunto: Princípio fundamental da contagem.

Reportar erro na resolução

Esta questão também caiu em

Ver como caiu na prova

Questão 2 no caderno Nível 3 da 2ª fase da OBMEP 2021

Fonte: OBMEP 2ª fase 2021 · Nível 3. Prova oficial ↗