Questão 3 (Nível 2) da 2ª fase da OBMEP 2021

Question

Julieta calcula as somas do tipo 9 + 99 + 999 + \cdots + \underbrace{999\cdots9}_{n\ \text{“noves”}} da seguinte maneira: ela pensa no número \underbrace{111\cdots1}_{n\ \text{“uns”}}, multiplica-o por 10 e subtrai n.

Por exemplo,
9 + 99 + 999 + 9999 + 99999 = \underbrace{11111}_{5\ \text{“uns”}}0 - 5 = 111105.

Ilustração de Julieta pensando nas etapas do seu método de cálculo expressas em balões de pensamento: o número com n uns, depois multiplicado por 10 e depois subtraído de n.

a) Calcule a soma 9 + 99 + 999 + \cdots + \underbrace{999\cdots9}_{7\ \text{“noves”}} da mesma maneira que Julieta.

b) Quantos algarismos 0 há no resultado da soma 9 + 99 + 999 + \cdots + \underbrace{999\cdots9}_{2021\ \text{“noves”}} ?

c) Explique por que a maneira como Julieta calcula essas somas é correta.

Answer 1

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 3 (Nível 2) da 2ª fase da OBMEP 2021

Nível 2 · Matemática: Sistemas de numeração

Julieta calcula as somas do tipo 9 + 99 + 999 + \cdots + \underbrace{999\cdots9}_{n\ \text{“noves”}} da seguinte maneira: ela pensa no número \underbrace{111\cdots1}_{n\ \text{“uns”}}, multiplica-o por 10 e subtrai n.

Por exemplo,
9 + 99 + 999 + 9999 + 99999 = \underbrace{11111}_{5\ \text{“uns”}}0 - 5 = 111105.

Ilustração de Julieta pensando nas etapas do seu método de cálculo expressas em balões de pensamento: o número com n uns, depois multiplicado por 10 e depois subtraído de n.

a) Calcule a soma 9 + 99 + 999 + \cdots + \underbrace{999\cdots9}_{7\ \text{“noves”}} da mesma maneira que Julieta.

b) Quantos algarismos 0 há no resultado da soma 9 + 99 + 999 + \cdots + \underbrace{999\cdots9}_{2021\ \text{“noves”}} ?

c) Explique por que a maneira como Julieta calcula essas somas é correta.

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Solução oficial da OBMEP

a)

9 + 99 + 999 + \dots + \underbrace{999 \dots 9}_{7\ \text{“noves”}} = \underbrace{1111111}_{7\ \text{“uns”}} 0 - 7 = \underbrace{111111}_{6\ \text{“uns”}} 03.

b)
Usando o método de Julieta, o resultado dessa soma é

9 + 99 + 999 + \dots + \underbrace{999 \dots 9}_{2021\ \text{“noves”}} = \underbrace{111 \dots 1111}_{2021\ \text{“uns”}} 0 - 2021 = \underbrace{111 \dots 1}_{2017\ \text{“uns”}} 0\ 9\ 0\ 8\ 9.

Portanto, há apenas dois algarismos 0 no resultado.

Para verificar que o método de Julieta é correto, escrevemos uma soma genérica da seguinte forma:

9 + 99 + 999 + \dots + \underbrace{999 \dots 9}_{n\ \text{“noves”}} = \underbrace{(10 - 1) + (100 - 1) + (1000 - 1) + \dots + (\underbrace{1000 \dots 0}_{n\ \text{“zeros”}} - 1)}_{LD}.

Manipulando a soma do lado direito dessa expressão (indicada com LD), ou seja, usando as propriedades associativa e comutativa da soma, temos:

LD = 10 + 100 + 1000 + \dots + 1\underbrace{000 \dots 0}_{n\ \text{“zeros”}} - (\underbrace{1 + 1 + 1 + \dots + 1}_{n\ \text{“uns”}}) = \underbrace{111 \dots 1}_{n\ \text{“uns”}} 0 - n.

Substituindo na igualdade anterior, obtemos: 9 + 99 + 999 + \dots + \underbrace{999 \dots 9}_{n\ \text{“noves”}} = \underbrace{111 \dots 1}_{n\ \text{“uns”}} 0 - n, o que justifica o método da Julieta.

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Resolução comentada

a) Para n=7, Julieta pensa em 1\,111\,111, multiplica por 10 e subtrai 7:

1\,111\,111\times 10 - 7 = 11\,111\,110 - 7 = 11\,111\,103.

11 111 103

b) Aqui n=2021. Pelo método, a soma é o número formado por 2021 uns seguidos de um zero (ele tem 2022 algarismos), menos 2021.

Só os últimos algarismos mudam na subtração. Como 2021 tem 4 algarismos e o final do número é 1110, que é menor que 2021, é preciso "emprestar" do algarismo anterior. Por isso olhamos os 5 últimos algarismos:

11\,110 - 2021 = 9089,

que, com 5 algarismos, se escreve 09089.

Os outros 2022-5=2017 algarismos continuam sendo 1. O resultado é

\underbrace{11\cdots1}_{2017\ \text{uns}}09089.

Os zeros estão apenas no bloco 09089, que tem 2 zeros. Confira com n=7: 11\,111\,110-7=11\,111\,103, que segue a mesma ideia.

Há 2 algarismos 0.

c) Cada parcela é uma potência de 10 menos 1:

9=10-1,\quad 99=100-1,\quad \ldots,\quad \underbrace{99\cdots9}_{n}=10^n-1.

Somando as n parcelas, temos n subtrações de 1, ou seja,

9+99+\cdots+\underbrace{99\cdots9}_{n}=(10+100+\cdots+10^n)-n.

A soma entre parênteses é

10+100+\cdots+10^n=\underbrace{11\cdots1}_{n\ \text{uns}}0,

pois cada potência de 10 coloca um 1 numa posição diferente, da casa das dezenas até a n-ésima potência. Esse número é 10\times\underbrace{11\cdots1}_{n\ \text{uns}}.

Logo a soma é 10\times\underbrace{11\cdots1}_{n}-n, que é exatamente o método de Julieta.

O método é correto porque cada parcela é 10^k-1, e a soma vale 10\times\underbrace{11\cdots1}_{n}-n.

Assuntos: Sistemas de numeração, Sequências e padrões.

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Fonte: OBMEP 2ª fase 2021 · Nível 2. Prova oficial ↗