A figura ao lado mostra um hexágono regular ABCDEF e os pontos médios P, Q, R, S e T dos lados AB, CD, DE, EF e FA, respectivamente.
a) Se a área do triângulo AST for igual a 1\text{ cm}^2, qual será a área do triângulo FTS?
b) Qual é a razão entre as áreas dos triângulos APR e PBQ?
c) Qual é a razão entre as áreas sombreada e não sombreada na figura abaixo?
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Resolução comentada
a) Os triângulos AST e FTS têm o vértice S em comum. As bases AT e TF ficam sobre a mesma reta FA, e T é ponto médio de FA, logo AT = TF. A altura relativa a essas bases é a distância de S à reta FA, a mesma nos dois triângulos. Bases iguais e alturas iguais dão áreas iguais:
\text{área}(FTS)=\text{área}(AST)=1\ \text{cm}^2.
Resposta: 1\ \text{cm}^2.
b) Tomo o lado do hexágono igual a 2 e uso coordenadas: A=(0,0), B=(2,0), C=(3,\sqrt3), D=(2,2\sqrt3), E=(0,2\sqrt3), F=(-1,\sqrt3).
Os pontos médios são P=(1,0), Q=\left(\tfrac52,\tfrac{3\sqrt3}{2}\right) e R=(1,2\sqrt3).
Em APR, o lado AP está sobre o eixo x e mede 1. A altura é a ordenada de R, que vale 2\sqrt3. Então a área é \tfrac12\cdot1\cdot2\sqrt3=\sqrt3.
Em PBQ, o lado PB está sobre o eixo x e mede 1. A altura é a ordenada de Q, que vale \tfrac{3\sqrt3}{2}. Então a área é \tfrac12\cdot1\cdot\tfrac{3\sqrt3}{2}=\tfrac{3\sqrt3}{4}.
A razão é
\frac{\sqrt3}{\,3\sqrt3/4\,}=\frac43.
Resposta: \dfrac{4}{3}.
c) Ainda com lado 2, temos S=\left(-\tfrac12,\tfrac{3\sqrt3}{2}\right) e T=\left(-\tfrac12,\tfrac{\sqrt3}{2}\right).
O lado ST é vertical e mede \sqrt3. A distância de A à reta ST é \tfrac12. Então \text{área}(AST)=\tfrac12\cdot\sqrt3\cdot\tfrac12=\tfrac{\sqrt3}{4}.
