Questão 1 (Nível 3) da 2ª fase da OBMEP 2021

Question

Gabriel gosta de preencher quadriculados 3 \times 3 com números de forma que quaisquer três deles, alinhados na horizontal, vertical ou diagonal, tenham a seguinte propriedade: o número central deve ser a média aritmética dos seus dois vizinhos.

Quadro verde com um quadriculado 3 por 3 preenchido com números e várias igualdades ao lado ilustrando que cada número central em linhas, colunas e diagonais é a média aritmética dos seus vizinhos.

a) Complete o preenchimento do quadriculado abaixo, iniciado por Gabriel.

2		14
10

b) Preencha o quadriculado abaixo seguindo a mesma instrução indicada anteriormente.

	7
9
		20

c) Qual será a soma dos nove números do quadriculado abaixo após Gabriel terminar de preenchê-lo?


14		30

Answer 1

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 1 (Nível 3) da 2ª fase da OBMEP 2021

Nível 3 · Matemática: Progressão aritmética

Gabriel gosta de preencher quadriculados 3 \times 3 com números de forma que quaisquer três deles, alinhados na horizontal, vertical ou diagonal, tenham a seguinte propriedade: o número central deve ser a média aritmética dos seus dois vizinhos.

Quadro verde com um quadriculado 3 por 3 preenchido com números e várias igualdades ao lado ilustrando que cada número central em linhas, colunas e diagonais é a média aritmética dos seus vizinhos.

a) Complete o preenchimento do quadriculado abaixo, iniciado por Gabriel.

2		14
10

b) Preencha o quadriculado abaixo seguindo a mesma instrução indicada anteriormente.

	7
9
		20

c) Qual será a soma dos nove números do quadriculado abaixo após Gabriel terminar de preenchê-lo?


14		30

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Resolução comentada

Solução oficial da OBMEP

a)

• Começando a preencher pela primeira linha, temos que a média de 2 e 14 é \frac{16}{2} = 8.

• Em seguida, podemos preencher a primeira coluna, cuja média é 10. Logo, os dois números vizinhos devem somar 20; portanto, 18 é o número que falta na primeira coluna.

• Passando para a diagonal que contém o 18, a média entre 14 e 18 é \frac{32}{2} = 16.

• A outra diagonal, assim como a segunda coluna e a segunda linha, tem média 16; logo, podemos facilmente preencher as casas restantes, pois 30 + 2 = 32; 8 + 24 = 32 e 10 + 22 = 32.

Observe que tudo se completou corretamente.

2	8	14
10	16	22
18	24	30

b)

A	7
9
		20

Vamos chamar de A o número que está na primeira linha e na primeira coluna, mas poderíamos ter escolhido outra casa da tabela para começar.

Assim, o número que falta na primeira linha é 14 - \text{A}, o número que falta na primeira coluna é 18 - \text{A}. Agora, pela diagonal que contém esse último número, temos que a casa central terá o número 16 - \text{A}.

A	7	14 - \text{A}
9	16 - \text{A}
18 - \text{A}		20

Agora, temos que 20 + \text{A} = 32 - 2\text{A}, logo, \text{A} = 4.

4	7	10
9	12
14		20

Resta preencher as duas casas restantes. Isso é bastante simples, já que 17 + 7 = 24 = 2 \times 12 e 20 + 10 = 30 = 2 \times 15.

4	7	10
9	12	15
14	17	20

c)

Agora só queremos a soma das nove casas e não o preenchimento completo. A casa central deve ser preenchida com 22.

Agora observe que as casas que ainda não foram preenchidas devem somar 28 + 44 + 60 = 132, pois \text{A} + \text{B} = 28; \text{C} + \text{D} = 44 e \text{E} + \text{F} = 60. Logo, as nove casas somam 132 + 14 + 22 + 30 = 198. Observe que 198 = 3 \times (14 + 22 + 30) = 9 \times 22.

A	C	E
14	22	30
B	D	F

Ver como a OBMEP publicou

Publicada pela banca.

Resolução comentada

a) Se o central é a média dos vizinhos, o quadriculado cresce em progressão aritmética em cada linha, coluna e diagonal.

Na primeira linha, 2,\ ?,\ 14: o central é \frac{2+14}{2}=8.

Na primeira coluna, 2,\ 10,\ ?: a razão é 8, então o último é 18.

O centro é a média dos extremos da diagonal 14 e 18: \frac{14+18}{2}=16.

Na outra diagonal, 2,\ 16,\ ?: o canto é 30.

As demais casas saem das progressões:

Linha do meio: 10,\ 16,\ 22.
Última linha: 18,\ 24,\ 30.

O quadriculado fica:

2	8	14
10	16	22
18	24	30

Resposta final: veja o quadriculado acima.

b) Todo quadriculado assim tem a forma: o centro vale m, cada passo para baixo soma r e cada passo para a direita soma s. Isso vale porque, ao fixar três cantos, todo o resto fica determinado, e essa forma já tem três parâmetros livres.

As casas conhecidas dão:

O 7 está uma linha acima do centro: m-r=7.
O 9 está uma coluna à esquerda do centro: m-s=9.
O 20 é o canto inferior direito: m+r+s=20.

Somando as três equações, os termos em r e s se cancelam: 3m=36, logo m=12. Então r=5 e s=3.

Preenchendo o quadriculado:

4	7	10
9	12	15
14	17	20

Conferência: as diagonais 4,12,20 e 10,12,14 são progressões aritméticas.

Resposta final: veja o quadriculado acima.

c) Com a forma do item anterior, os 14 e 30 estão na linha do meio, simétricos em relação ao centro: m-s=14 e m+s=30.

Somando, 2m=44, então m=22.

No quadriculado, as casas se agrupam em pares simétricos em relação ao centro, e cada par tem soma 2m. São quatro pares mais o centro, então a soma total é 9m:

9\cdot 22=198

Resposta final: 198.

Assuntos: Progressão aritmética, Equações do 1º grau e problemas.

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Fonte: OBMEP 2ª fase 2021 · Nível 3. Prova oficial ↗