PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 3 (Nível 3) da 2ª fase da OBMEP 2021

Nível 3 · Matemática: Probabilidade: conceitos básicos

Os números de 1 a 9 são distribuídos ao acaso e sem repetição nas casas do quadriculado desenhado na lousa ao lado.

Lousa verde com moldura marrom e um quadriculado de 3 por 3 desenhado com linhas brancas.

a) Qual é a probabilidade de que a casa central seja preenchida com um número ímpar?

b) Qual é a probabilidade de que o quadriculado tenha uma coluna preenchida apenas com números pares?

c) Qual é a probabilidade de que o quadriculado tenha uma linha e uma coluna preenchidas apenas com números ímpares?

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Solução oficial

Solução oficial da OBMEP

Observamos inicialmente que podemos considerar o quadriculado fixo na posição apresentada.

a) Qualquer casa do tabuleiro (em particular, a casa central) pode ser preenchida de nove maneiras, sendo quatro delas por um número par; a probabilidade pedida é, então, \frac{4}{9}.

b) A probabilidade de que três casas fixas (não necessariamente na mesma coluna) sejam preenchidas apenas por números pares é \frac{4}{9} \times \frac{3}{8} \times \frac{2}{7} = \frac{1}{21}. De fato, a probabilidade de a primeira casa ser preenchida com um número par é de \frac{4}{9}, conforme o item anterior; uma vez preenchida a primeira das três casas com um número par, a probabilidade de a segunda casa ser preenchida com um número par é \frac{3}{8}. Finalmente, uma vez preenchidas a primeira e a segunda casas com números pares, a probabilidade de a terceira casa também ser preenchida com um número par é \frac{2}{7}, e segue nossa afirmativa inicial. Como podemos escolher uma coluna de três maneiras, a probabilidade procurada é 3 \times \frac{1}{21} = \frac{1}{7}.

Alternativamente, quatro casas fixas (em particular, uma coluna e uma casa extra) podem ser preenchidas com números pares de 4! maneiras e, após isso, as cinco casas restantes podem ser preenchidas com números ímpares de 5! maneiras. Logo, o número de maneiras de preencher o quadriculado de modo que essas quatro casas tenham números pares é 4! \times 5!. Como o número de maneiras de preencher o quadriculado sem restrições é 9!, a probabilidade de que essas quatro casas sejam preenchidas com números pares é \frac{5! \times 4!}{9!} = \frac{1}{126}.

Finalmente, podemos fixar uma coluna e uma casa extra de 3 \times 6 = 18 maneiras, e segue que a probabilidade procurada é 18 \times \frac{1}{126} = \frac{1}{7}.

c) A probabilidade de que cinco casas fixas (não necessariamente formando uma linha e uma coluna) sejam preenchidas por números ímpares é, analogamente ao item anterior, igual a \frac{5}{9} \times \frac{4}{8} \times \frac{3}{7} \times \frac{2}{6} \times \frac{1}{5} = \frac{1}{126}. Podemos escolher uma linha e uma coluna de 3 \times 3 = 9

Alternativamente, cinco casas fixas (em particular, uma linha e uma coluna) podem ser preenchidas com números ímpares de 5! maneiras e as quatro casas restantes podem ser preenchidas com números pares de 4! maneiras. Podemos fixar uma linha e uma coluna de 3 \times 3 = 9 maneiras, e segue, como no item anterior, que a probabilidade pedida é 9 \times \frac{5! \times 4!}{9!} = \frac{1}{14}.

Notamos que o fato de a probabilidade em (c) ser a metade daquela em (b) não é apenas uma coincidência numérica, mas decorre do fato de que é possível associar a cada preenchimento do tabuleiro, como em (c), dois preenchimentos distintos, como em (b); reciprocamente, os preenchimentos como em (b) podem ser divididos em grupos de dois, de modo a gerar um preenchimento como em (c). Essa ideia está ilustrada na figura abaixo.

[Figura: Dois diagramas ilustrando a correspondência entre preenchimentos de tabuleiros 3 \times 3. Cada diagrama mostra um tabuleiro à esquerda ligado por uma seta bidirecional a um par de tabuleiros entre parênteses à direita, com diferentes configurações de linhas e colunas sombreadas.]

Dessa maneira, outra solução para essa questão é mostrar primeiro (b) e depois usar o argumento acima para mostrar (c), ou vice-versa.

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Questão 3 no caderno Nível 3 da 2ª fase da OBMEP 2021

Fonte: OBMEP 2ª fase 2021 · Nível 3. Prova oficial ↗