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PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 1 (Nível 2) da 2ª fase da OBMEP 2021

Nível 2 · Matemática: Progressão aritmética

Gabriel gosta de preencher quadriculados 3 \times 3 com números de forma que quaisquer três deles, alinhados na horizontal, vertical ou diagonal, tenham a seguinte propriedade: o número central deve ser a média aritmética dos seus dois vizinhos.

Quadro verde mostrando um exemplo de quadriculado 3 por 3 preenchido com os números 19, 11 e 3 na primeira linha; 22, 14 e 6 na segunda linha; 25, 17 e 9 na terceira linha. Ao lado do quadriculado, estão as igualdades que verificam a propriedade da média aritmética: 11 = (19 + 3)/2, 14 = (22 + 6)/2, 17 = (25 + 9)/2, 22 = (19 + 25)/2, 14 = (11 + 17)/2, 6 = (3 + 9)/2, 14 = (19 + 9)/2 e 14 = (25 + 3)/2.

a) Complete o preenchimento do quadriculado abaixo, iniciado por Gabriel.

2 14
10

b) Preencha o quadriculado abaixo seguindo a mesma instrução indicada anteriormente.

7
9
20

c) Qual será a soma dos nove números do quadriculado abaixo após Gabriel terminar de preenchê-lo?
14 30
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Resolução comentada

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a)

A propriedade vale em toda linha, coluna e diagonal. Cada casa do meio é a média das duas vizinhas, então cada extremo é 2\cdot(\text{meio})-(\text{outro extremo}).

  1. Linha de cima: 2,\ \square,\ 14. O meio é \frac{2+14}{2}=8.
  2. Coluna da esquerda: 2,\ 10,\ x. Como 10=\frac{2+x}{2}, temos x=18.
  3. Diagonal que liga o 14 ao 18 passa pelo centro: c=\frac{14+18}{2}=16.
  4. Diagonal que liga o 2 ao canto inferior direito i: 16=\frac{2+i}{2}, logo i=30.
  5. Linha do meio: 10,16,22, pois 16=\frac{10+22}{2}.
  6. Linha de baixo: 18,\ 24,\ 30, pois o meio é \frac{18+30}{2}=24.

A coluna 3 (14, 22, 30) e a coluna 2 (8, 16, 24) também respeitam a regra.

2 8 14
10 16 22
18 24 30

Quadriculado completo: linhas 2, 8, 14 / 10, 16, 22 / 18, 24, 30.

b)

Chame o centro de e. O centro é a média de duas casas opostas, então cada casa oposta é 2e menos a outra.

  • Oposta ao 7 (embaixo, no meio): 2e-7.
  • Oposta ao 9 (à direita, no meio): 2e-9.
  • Oposta ao 20 (canto superior esquerdo): 2e-20.

Linha de cima: 2e-20,\ 7,\ c. Como 7 é o meio, c=14-(2e-20)=34-2e.

Coluna da direita: c,\ 2e-9,\ 20. O meio é a média dos extremos:

2e-9=\frac{(34-2e)+20}{2}=27-e\Rightarrow 3e=36\Rightarrow e=12.

Então:

  • canto superior esquerdo: 4;
  • canto superior direito: 34-24=10;
  • meio à direita: 15;
  • meio embaixo: 17;
  • canto inferior esquerdo g: na linha de baixo, 17=\frac{g+20}{2}, logo g=14.
4 7 10
9 12 15
14 17 20

Conferindo: 9,12,15 e 4,12,20 satisfazem a regra, assim como as demais linhas, colunas e diagonais.

Quadriculado completo: linhas 4, 7, 10 / 9, 12, 15 / 14, 17, 20.

c)

O centro e é a média de qualquer par de casas opostas. Aqui as casas opostas são 14 e 30, então

e=\frac{14+30}{2}=22.

As outras oito casas formam 4 pares opostos (as duas diagonais, a linha do meio e a coluna do meio). Cada par tem média e, ou seja, soma 2e.

Soma total:

4\cdot 2e+e=9e=9\cdot 22=198.

A soma dos nove números é 198.

Assuntos: Progressão aritmética, Média aritmética e ponderada.

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Ver como caiu na prova Questão 1 no caderno Nível 2 da 2ª fase da OBMEP 2021

Fonte: OBMEP 2ª fase 2021 · Nível 2. Prova oficial ↗