Questão 2 (Nível 2) da 2ª fase da OBMEP 2021

Resolução comentada

Há 9\cdot 8=72 divisões, pois a ordem importa: \frac{a}{b} e \frac{b}{a} são divisões diferentes.

a) O resultado é inteiro quando o denominador b divide o numerador a. Como a\neq b, o numerador é um múltiplo de b maior que b. Contando por denominador:

1. b=1: numeradores 2,3,\dots,9, que dão 8 divisões.
2. b=2: numeradores 4,6,8, que dão 3.
3. b=3: numeradores 6,9, que dão 2.
4. b=4: numerador 8, que dá 1.
5. b\ge 5: nenhum outro múltiplo até 9, que dá 0.

Total: 8+3+2+1=14.

Resposta: 14 divisões.

b) É mais fácil contar o contrário, os resultados \le 0{,}5. A condição \frac{a}{b}\le \frac12 equivale a b\ge 2a. Contando por numerador:

• a=1: b=2,\dots,9, que dá 8.
• a=2: b=4,\dots,9, que dá 6.
• a=3: b=6,\dots,9, que dá 4.
• a=4: b=8,9, que dá 2.
• a\ge5: b\ge10, que não existe.

São 8+6+4+2=20 divisões com resultado \le 0{,}5. Logo, com resultado maior que 0{,}5 há 72-20=52.

Resposta: 52 divisões.

c) Dois resultados são iguais quando as frações têm a mesma forma irredutível. Então cada resultado diferente corresponde a uma fração irredutível \frac{p}{q} com p\neq q e p,q\in\{1,\dots,9\}. Toda fração obtida reduz-se a uma dessas, e toda dessas é obtida.

Contamos as frações com p<q. Para cada denominador q, o número de numeradores p<q primos com q é \varphi(q):

Cada uma tem também a fração inversa, maior que 1, com resultado diferente. Logo há 2\cdot 27=54 resultados diferentes.

Resposta: 54 resultados diferentes.

Assuntos: Princípio fundamental da contagem, Frações, decimais e operações básicas.

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