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PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 5 (Nível 1) da 2ª fase da OBMEP 2019

Nível 1 · Matemática: Vistas, projeções e planificações

A Figura 1 é uma planificação de um cubo. Fazendo as dobras necessárias e colando as arestas soltas, obtemos o cubo da Figura 2.

Figura 1: planificação de um cubo com faces contendo círculo preto, quadrado branco, triângulo branco apontando para a esquerda, quadrado preto, círculo branco e triângulo preto apontando para a direita Figura 2: perspectiva do cubo montado mostrando triângulo branco na frente, quadrado preto na lateral direita e círculo branco no topo

a) Em uma outra vista do mesmo cubo, mostrada abaixo, está faltando o desenho na face da frente. Faça esse desenho.

Vista do cubo mostrando círculo branco no topo e triângulo branco na face lateral direita

b) Abaixo temos outras duas vistas do mesmo cubo, cada uma com a face da frente sem desenho. Faça os desenhos que faltam nessas faces.

Duas vistas do cubo: a primeira com círculo preto no topo e quadrado branco na face lateral direita; a segunda com círculo preto no topo e quadrado preto na face lateral direita

c) Abaixo temos uma outra planificação do mesmo cubo. Faça, nessa planificação, os desenhos que estão faltando.

Outra planificação em degraus do cubo contendo apenas o círculo preto e o quadrado branco preenchidos nas duas primeiras faces

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Resolução comentada

Solução oficial da OBMEP

Dobrando a figura planificada para montar o cubo, vemos que o círculo preto terá uma aresta em comum com o quadrado preto e com o triângulo preto. Isso mostra que a face com o círculo branco é oposta à face com o triângulo preto, a face com triângulo branco é oposta à face com círculo preto e a face com quadrado branco é oposta à face com o quadrado preto.

[Figura: Planificação original do cubo com faces contendo as figuras geométricas e arestas destacadas em cores indicando as junções]

a) Se o cubo for posicionado com o círculo branco na face de cima, então as faces laterais serão exatamente as quatro faces que aparecem na fila horizontal central da planificação. Logo, o triângulo branco está numa face lateral e é vizinho das faces laterais com desenhos de quadrados, um branco e um preto. O triângulo “aponta” para o quadrado branco, que então é a figura que aparece no quadrado da frente, na vista espacial do cubo. Logo, a solução é:

[Figura: Cubo em perspectiva com o círculo na face superior, triângulo branco na lateral apontando para a frente e o quadrado branco desenhado na face frontal]

b) As faces com o círculo preto e o triângulo branco são opostas. Se a face com o círculo preto for a superior, nas faces laterais devem aparecer, além dos quadrados, o círculo branco e o triângulo preto. Como são opostas as faces com os quadrados, esses quadrados não podem aparecer numa mesma vista do cubo. Assim, nas vistas espaciais do cubo, abaixo, na face da frente só podem ser vistos o círculo branco e o triângulo preto.

[Figura: Diagrama com setas mostrando o rebatimento das faces da planificação original para uma disposição em cruz centrada no círculo preto]

Vamos nos certificar agora da orientação do triângulo preto. Na figura acima, à direita, vemos como se posicionam as faces laterais em que o círculo preto aparece no topo. Fica claro que, se a face lateral com o quadrado branco é visível à direita, na frente aparece o triângulo preto “apontando” para o círculo preto. As vistas são, então,

[Figura: Duas vistas do cubo com círculo preto na face de cima; no cubo da esquerda, triângulo preto na face frontal apontando para cima e quadrado branco na face lateral direita; no cubo da direita, círculo branco na face frontal e quadrado preto na face lateral direita]

c) Na nova planificação, a face com o círculo preto fica à esquerda da face com o quadrado branco (veja a ilustração a seguir). A face abaixo da face com o quadrado branco então é a face com o triângulo preto, conforme visto no item anterior (observe que o triângulo preto deve apontar para o círculo preto no cubo montado). Então a face à direita da face com o triângulo preto é a face oposta à face do círculo preto, logo é a face com o triângulo branco. O triângulo branco deve apontar para o quadrado branco no cubo montado. A face abaixo do triângulo branco é oposta à face com o quadrado branco, logo só pode ser a face com o quadrado preto. A face que falta é a do círculo branco.

[Figura: Sequência de cinco passos mostrando o preenchimento gradual da nova planificação: 1) círculo preto e quadrado branco no topo; 2) adição do triângulo preto apontando para a esquerda abaixo do quadrado branco; 3) adição do triângulo branco apontando para cima à direita do triângulo preto; 4) adição do quadrado preto abaixo do triângulo branco; 5) adição do círculo branco à direita do quadrado preto]

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Resolução comentada

a)

Na faixa horizontal da Figura 1, as faces separadas por uma face tornam-se opostas. Assim, o círculo preto fica oposto ao triângulo branco, e os dois quadrados ficam opostos entre si.

Mantendo o círculo branco no topo, gire o cubo da Figura 2 até o triângulo branco passar da frente para a direita. Nessa rotação, a antiga face esquerda passa para a frente. Como ela é oposta à face do quadrado preto, seu desenho é o quadrado branco.

Na face da frente, desenhe um quadrado branco, sem preenchimento.

b)

Imagine a Figura 1 dobrada e gire o cubo inteiro, preservando a posição relativa das faces. Não basta identificar faces vizinhas: a ordem em que elas aparecem também precisa ser mantida.

Na primeira vista, colocando o círculo preto no topo e o quadrado branco à direita, a face da frente é a do triângulo preto. A orientação também importa: a ponta desse triângulo, voltada para a direita na planificação original, passa a apontar para cima.

Na segunda vista, com o círculo preto no topo e o quadrado preto à direita, a face da frente contém o círculo branco.

Primeira vista: triângulo preto apontando para cima. Segunda vista: círculo branco.

c)

Use o círculo preto e o quadrado branco como referências para acompanhar as dobras da nova planificação. Os pares de faces opostas devem continuar iguais aos da Figura 1: círculo preto e triângulo branco; quadrado branco e quadrado preto; círculo branco e triângulo preto.

Além de posicionar as figuras, precisamos preservar a orientação dos triângulos em relação às arestas. A nova planificação fica assim:

\begin{array}{cccc} \bullet & \square & & \\ & \blacktriangleleft & \triangle & \\ & & \blacksquare & \bigcirc \end{array}

Na linha intermediária: triângulo preto apontando para a esquerda e triângulo branco apontando para cima. Na linha inferior: quadrado preto à esquerda e círculo branco à direita.

Assunto: Vistas, projeções e planificações.

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Questão 5 no caderno Nível 1 da 2ª fase da OBMEP 2019

Fonte: OBMEP 2ª fase 2019 · Nível 1. Prova oficial ↗